Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

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Ne doit pas être confondu avec le « théorème » de Schmidt en économie.

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924[1], dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble[2]. K. Iwasawa a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).

Lemme 1[4] — Dans un groupe fini dont les sous-groupes maximaux sont d'intersection triviale 2 à 2, l'un de ces sous-groupes maximaux est normal.

Lemme 2 — Soit G un groupe fini non cyclique. Si tous les sous-groupes maximaux de G sont nilpotents, alors G n'est pas simple.

Précisions sur la structure du groupe[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est nilpotent ou d'ordre pmqn avec p et q premiers distincts et m, n ≥ 1[5].

Nombres nilpotents[modifier | modifier le code]

Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent[6]. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant[7],[8] :

Soit p1k1prkr la décomposition en facteurs premiers de n. Le nombre n est nilpotent si et seulement si pour tous ij, ki est strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de pi modulo pj.

(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc[8] les puissances de 2.)

Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence :

Pour tout nombre nilpotent n, les deux propriétés suivantes sont équivalentes[10] :

  • la classe de nilpotence de tout groupe d'ordre n est au plus c ;
  • n est « sans puissances (c + 2)-ièmes » (c'est-à-dire que dans la décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont inférieurs ou égaux à c + 1).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) O. J. Schmidt, « Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind », Recueil Mathématique [Mat. Sbornik], Moscou, vol. 31, 1924, p. 366-372. (Référence donnée par (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, CUP, (lire en ligne), p. 264 et 298.) Original russe en ligne.
  2. Pour une démonstration du théorème sous cette forme, voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents : Cours de D.E.A. », Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), 1996/1997, p. 17-18.
  3. (de) K. Iwasawa, « Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind », Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, vol. 23, 1941, p. 1-4. (Référence donnée par Rose 1978, p. 264 et 297.)
  4. Endimioni 1996/1997, Lemme 4.2. Comparer avec le lemme de (en) Joseph A. Gallian (en) et David Moulton, « When is Zn the only group of order n? », Elemente der Mathematik, vol. 48, no 3,‎ , p. 117-119 (lire en ligne), qui concerne les nombres cycliques.
  5. Pour plus de précisions, voir (de) Bertram Huppert (en), Endliche Gruppen, vol. I, Springer, coll. «  Grund. math. Wiss. » (no 134), (1re éd. 1967) (lire en ligne), p. 281.
  6. (en) OEIS OEISA056867 : suite des nombres nilpotents.
  7. (de) Gerhard Pazderski, « Die Ordnungen, zu denen nur Gruppen mit gegebenen Eigenschaften gehören », Arch. Math., vol. 10,‎ , p. 331-343 (DOI 10.1007/BF01240807).
  8. a et b (en) Jonathan Pakianathan et Krishnan Shankar, « Nilpotent numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 107, no 7,‎ , p. 631-634 (JSTOR 2589118, lire en ligne) (caractérisation des nombres résolubles, nilpotents, abéliens ou cycliques).
  9. Inspirée de Pakianathan et Shankar 2000.
  10. (en) Thomas W. Müller, « An arithmetic theorem related to groups of bounded nilpotency class », Journal of Algebra, vol. 300, no 1,‎ , p. 10-15 (Math Reviews 2228629, lire en ligne), prétend démontrer directement la caractérisation arithmétique complète des nombres « nilpotents de classe au plus c » et retrouver ainsi celles des nombres nilpotents (pour c = ) et des nombres abéliens (pour c = 1). En réalité, sa démonstration repose non seulement, comme celle ci-dessus, sur le théorème de Schmidt et la structure du groupe — dans une version d'ailleurs plus précise (Huppert 2013, p. 281) que celle utilisée ici, mais aussi sur un théorème de Hall concernant le nombre d'automorphismes d'un p-groupe, alors que le 3e théorème de Sylow nous a suffi.
  11. (en) Charles Leedham-Green (en) et Susan McKay, The Structure of Groups of Prime Power Order, OUP, (lire en ligne), section 3.1.

Liens externes[modifier | modifier le code]