Nombre et supernombre de Poulet

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Un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2 n - 2 : dans le cas contraire, en vertu de la contraposée du petit théorème de Fermat, on conclut que n n'est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres de Poulet, en l'honneur de Paul Poulet qui en a listés en 1926, ou nombres de Sarrus.

  • Un supernombre de Poulet est un nombre dont chaque diviseur composé est un nombre de Poulet.

Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si tout diviseur d de n divise 2 d - 2. Si un tel diviseur d est composé, d est lui-même un supernombre de Poulet.

Exemples[modifier | modifier le code]

Par exemple, 341 est un supernombre de Poulet : ses diviseurs positifs sont {1, 11, 31, 341} et on a :

\begin{array}{l}
\scriptstyle 2^{11} - 2 \,=\, 11 \times 186\\
\scriptstyle 2^{31} - 2 \,=\, 31 \times 69273666\\
\scriptstyle 2^{341} - 2 \,=\, 341 \times 13136332798696798888899954724741608669335164206654835981818117894215788100763407304286671514789484550
\end{array}

Il est trivial que tous les nombres de Poulet n'ayant que deux facteurs premiers sont des supernombres de Poulet ; c'est le cas de 341.

Premiers nombres et supernombres de Poulet[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres et supernombres de Poulet et leur décomposition sont présentés dans les tables qui suivent :

Nombres de Poulet
Nombre Décomposition
341 11 × 31
561 3 × 11 × 17
645 3 × 5 × 43
1105 5 × 13 × 17
1387 19 × 73
1729 7 × 13 × 19
1905 3 × 5 × 127
2047 23 × 89
2465 5 × 17 × 29
2701 37 × 73
2821 7 × 13 × 31
Supernombres de Poulet
Nombre Décomposition
341 11 × 31
1387 19 × 73
2047 23 × 89
2701 37 × 73
3277 29 × 113
4033 37 × 109
4369 17 × 257
4681 31 × 151
5461 43 × 127
7957 73 × 109
8321 53 × 157
Nombres de Poulet pairs
Nombre Décomposition
161038 2 × 73 × 1103
215326 2 × 23 × 31 × 151
2568226 2 × 23 × 31 × 1801
3020626 2 × 7 × 359 × 601
7866046 2 × 23 × 271 × 631
9115426 2 × 31 × 233 × 631
49699666 2 × 311 × 79903
143742226 2 × 23 × 31 × 100801
161292286 2 × 127 × 199 × 3191
196116194 2 × 127 × 599 × 1289 
209665666  2 × 7 × 89 × 197 × 881 

Notez que les supernombres de Poulet présentés ici sont tous des nombres de Poulet à deux facteurs premiers.

Nombres de Poulet à deux facteurs premiers[modifier | modifier le code]

On l'a vu, les nombres de Poulet à deux facteurs premiers sont des supernombres de Poulet.

On peut également les caractériser comme suit : Soient p et q deux nombres premiers ; leur produit pq est un nombre de Poulet si, et seulement si, q divide 2p - 2 et p divise 2q - 2.

Supernombres de Poulet à plus de deux facteurs premiers[modifier | modifier le code]

On peut construire des supernombres de Poulet à trois facteurs premiers de la façon suivante :

  • si p1 , p2 , p3 sont trois nombres premiers distincts tels que p1 p2 , p1 p3 , et p2 p3 sont des supernombres de Poulet, alors p1 p2 p3 est un supernombre de Poulet.

Par exemple, il est facile de lire dans le tableau ci-dessus que les nombres premiers 37, 73 et 109 conviennent. Leur produit : 294409 = 37×73×109 est un supernombre de Poulet.

On a également la généralisation suivante :

  • Si p1 , p2 ,..., pn sont n nombres premiers distincts tels que tous les produits pi pj (avec i différent de j) sont des supernombres de Poulet, alors le produit p1 p2 ... pn est un supernombre de Poulet.


Sept, huit facteurs premiers, et plus encore[modifier | modifier le code]

Les familles de nombres premiers qui suivent permettent d'obtenir des nombres de Poulet avec jusqu'à sept facteurs premiers distincts :

  • 103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
  • 709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081
  • 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301 (*)
  • 6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Ces familles ci permettent d'aller jusqu'à huit facteurs premiers distincts :

  • 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201 (*)
  • 2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401
  • 2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313
  • 1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701

Notez la parenté entre les deux lignes marquées (*) ci-dessus ! Cette liste de nombres premiers peut en fait être poursuivie jusqu'à vingt-deux nombres premiers distincts :

  • 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201, 4242661, 52597081, 364831561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103410510721501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

Facteurs carrés[modifier | modifier le code]

Il existe aussi des supernombres de Poulet qui ont des facteurs carrés : en particulier, les carrés des nombres de Wieferich. On peut définir les nombres de Wieferich comme des nombres premiers p tels que p2 est un supernombre de Poulet ; on n'en connaît que deux, p = 1093 et p = 3511. Ainsi, 10932 , 35112 sont des supernombres de Poulet, mais aussi 10932 × 4733, et d'autres.

Nombres de Poulet pairs[modifier | modifier le code]

On connaît des nombres de Poulet pairs ; le plus petit d'entre eux, 161038 = 2 × 73 × 1103, a été découvert par Derrick Lehmer en 1950.

Il est par ailleurs assez facile de démontrer qu'il n'y a pas de supernombres de Poulet pairs. En effet, un tel nombre admettrait un diviseur composé de la forme 2p avec p premier, qui serait un nombre de Poulet. Or


2^{2p}-2 = (2^p-2)(2^p+2) + 2.

Si c'est un nombre de Poulet, il est divisible par 2p : on en déduit que

p divise (2^p-2)(2^{p-1}+1) + 1.

Or, d'après le petit théorème de Fermat, p divise (2^p-2). On a alors p divise 1, ce qui est absurde. Il n'existe donc pas de nombre de Poulet de la forme 2p avec p premier, et a fortiori pas de supernombre de Poulet pair.

Liens externes et sources[modifier | modifier le code]

Sur l'encyclopédie électronique des suites entières de Sloane on trouve :

Cette page (en anglais) donne beaucoup d'informations sur les nombres et supernombres de Poulet :