Nombre de Markov

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Les nombres de Markov, disposés dans un arbre binaire.

En mathématiques, un nombre de Markov est un nombre entier positif x, y ou z qui est une partie d'une solution de l'équation diophantienne de Markov :

x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz.\,

Les nombres de Markov ont été nommés en l'honneur du mathématicien russe Andrei Markov.

Liste[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres de Markov (suite A002559 de l'OEIS) sont 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610etc. apparaissant comme les coordonnées de triplets de Markov (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), etc.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La symétrie de l'équation de Markov permet de réordonner les coordonnées, donc un triplet de Markov (a, b, c) peut être normalisé, comme ci-dessus, de telle façon que abc. Hormis dans les deux plus petits triplets, les trois entiers d'un triplet de Markov sont distincts.

La conjecture d'unicité prévoit que pour un nombre de Markov donné c, il existe exactement une solution normalisée ayant c comme plus grand élément.

Si (x, y, z) est un triplet de Markov alors (x, y, 3xy – z) aussi. Si l'on ne change pas l'ordre des membres avant d'appliquer de nouveau la transformation, on retrouve le triplet de départ. Mais si par exemple, à partir de (1, 1, 2), on échange y et z avant chaque itération de la transformation, on obtient des triplets de nombres de Fibonacci. À partir du même triplet mais en échangeant x et z avant chaque itération, on obtient des triplets de nombres de Pell.

Plus précisément, les triplets de Markov normalisés peuvent être disposés en un arbre binaire infini : les voisins d'un triplet normalisé sont obtenus en modifiant comme ci-dessus l'une des trois coordonnées, puis en renormalisant le triplet obtenu. Les nombres de Markov des régions adjacentes à la région de 2 sont les nombres de Pell d'indices impairs (ou encore : les nombres n tels que 2n2 – 1 est un carré, A001653), et les nombres de Markov des régions adjacentes à celle de 1 sont les nombres de Fibonacci d'indices impairs (A001519). Ainsi, il existe une infinité de triplets de Markov de la forme

(1, F_{2n - 1}, F_{2n + 1}),

Fx est le x-ième nombre de Fibonacci. De la même façon, il existe une infinité de triplets de Markov de la forme

(2, P_{2n - 1}, P_{2n + 1}),

Px est le x-ième nombre de Pell.

La suite A030452 de l'OEIS liste les nombres de Markov qui apparaissent dans les solutions où l'un des deux autres termes est 5.

Les trois nombres d'un triplet de Markov sont toujours premiers entre eux mais ne sont pas toujours premiers. Les nombres de Markov premiers sont 2, 5, 13, 29, 89, 233, etc. (A178444). Ils sont de densité nulle au sein des nombres de Markov[1].

En 1982, Don Zagier conjectura que le n-ième nombre de Markov est asymptotiquement donné par

m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)} \quad\text{avec } C=2,3523418721\ldots

De plus, il mit en évidence que x2 + y2 + z2 = 3xyz + 4/9, une approximation extrêmement bonne de l'équation diophantienne originale, est équivalent à f(x) + f(y) = f(z) avec f(t) = arcosh(3t/2)[2]. La conjecture fut démontrée par Greg McShane et Igor Rivin (en) en 1995, par des techniques issues de la géométrie hyperbolique[3].

Le n-ième nombre de Lagrange (en) peut être calculé à partir du n-ième nombre Markov avec la formule

L_n = \sqrt{9 - {4 \over {m_n}^2}}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Markov number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Jean Bourgain, Alex Gamburd et Peter Sarnak, « Markoff Triples and Strong Approximation »,‎ (arXiv 1505.06411).
  2. (en) Don B. Zagier, « On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound », Math. Comp., vol. 39, no 160, 1982, p. 709-723.
  3. (en) Greg McShane et Igor Rivin, « Simple curves on hyperbolic tori », C. R. Acad. Sci. Paris, série I. Math., vol. 320, no 12,‎ .