Nombre de Giuga

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En mathématiques, un nombre de Giuga est[1] un entier naturel composé qui satisfait à la congruence

D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).

Caractérisation des nombres de Giuga[modifier | modifier le code]

Un nombre est un nombre de Giuga si et seulement si[1]

  • il est composé
  • pour tout facteur premier de .

Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga[modifier | modifier le code]

La fonction qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à a été étudiée et Tipu[2] a montré que .

Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski[1] :

Nombres faiblement de Giuga[modifier | modifier le code]

Certains auteurs[3],[4] appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski[1] préfèrent nommer weak Giuga numbers. Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : p2 | n – p pour tout facteur premier p de n. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : suite A007850 de l'OEIS. Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an + 1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique[5].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a b c et d (en) Florian Luca, Carl Pomerance et Igor Shparlinski, « On Giuga Numbers », International Journal of Modern Mathematics, vol. 4, no 1,‎ , p. 13–18 (lire en ligne)
  2. (en) Vicentiu Tipu, « A note on Giuga's conjecture », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 50,‎ , p. 158-160.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Giuga number », sur MathWorld.
  4. (en) David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 [lire en ligne].
  5. « 1103.2298 », texte en accès libre, sur arXiv.