Nombre brésilien

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En arithmétique, un nombre brésilien est un entier naturel strictement positif de la forme

.

Un nombre brésilien n possède donc, dans une base b vérifiant 1 < b < n – 1, une représentation qui s'écrit avec des chiffres tous égaux.

Plus précisément, n = (aaa...aaa)b avec c fois la présence du chiffre a en base b.

La condition b < n – 1 est importante car tout nombre n s'écrit : n = 11n–1 et, de ce fait, tout nombre serait brésilien autrement.

Exemples

20 est un nombre brésilien car 20 s'écrit 22 en base 9 : 20 = 229.

9 n'est pas un nombre brésilien car 9 = 10012 = 1003 = 214 = 145 = 136 = 127 et aucune de ces écritures n'est brésilienne.

Historique[modifier | modifier le code]

En 1994, lors de la neuvième Olympiade Ibéro-américaine de Mathématiques qui se déroulait à Fortaleza au Brésil, un exercice proposé par le Mexique a été repris par Pierre Bornsztein dans son livre Hypermath[1] : « Un nombre n > 0 est dit « brésilien » s'il existe un entier b vérifiant 1 < b < n – 1 pour lequel la représentation de n en base b s'écrit avec des chiffres tous égaux. Montrer que 1994 est brésilien et que 1993 ne l'est pas. »

Séduit par cet énoncé, Bernard Schott l'a proposé comme thème de réflexion en 2007 sur le forum de les-mathematiques.net[2] puis a rédigé un article sur ces nombres dans la revue Quadrature[3].

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le plus petit nombre brésilien est 7 = 1112 qui est donc également le plus petit nombre premier brésilien.
  • Tout nombre pair8 est brésilien car n = 2 × k = 22k–1 avec k – 1 ≥ 3. Ainsi, il existe une infinité de nombres brésiliens et de nombres composés brésiliens.
  • Tout nombre impair n15 s'écrivant n = a × c avec a ≥ 3 et c > a + 1 est également brésilien car n = c × a = (aa)c–1.
  • La suite des nombres brésiliens est 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20etc. (suite A125134 de l'OEIS).
  • La suite des nombres composés brésiliens est 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20etc. (suite A220571 de l'OEIS).
  • Un nombre super-brésilien est un nombre uniforme dans une base égale à ce nombre uniforme. Le plus petit exemple est 2222 = 46. Sur le site Nombres de Gérard Villemin[4], ces nombres sont appelés super-repdigits car l'écriture 1111 = 12 est acceptée. La séquence des nombres super-brésiliens correspond à OEISA287767.
  • Si n > 7 n'est pas brésilien, alors n est un nombre premier ou le carré d'un nombre premier.
  • Il existe des nombres brésiliens premiers, des nombres brésiliens composés, des nombres non brésiliens premiers et des nombres non brésiliens composés. Avec 0 et 1, ces quatre ensembles forment une partition de l'ensemble N des entiers naturels.

Nombres premiers et répunits[modifier | modifier le code]

Tout nombre premier brésilien p supérieur ou égal à 7 est un répunit qui s'écrit avec un nombre premier impair de 1 dans une base b, mais la réciproque est fausse comme le montre 21 = 1114 ou encore 111 = 11110 = 3 × 37.

Exemples de premiers brésiliens : 13 = 1113 et 127 = 11111112.

La suite des nombres premiers brésiliens est 7, 13, 31, 43, 73, 127, 157, 211, 241, 307, 421, 463etc. (suite OEISA085104).

Alors que la série des inverses des nombres premiers est divergente, la série des inverses des nombres premiers brésiliens est convergente vers un nombre, appelé « constante des nombres premiers brésiliens », légèrement supérieur à 0,33 et qui est étudié dans la séquence OEISA306759.

La suite des nombres premiers non brésiliens est 2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53etc. (suite OEISA220627). Cette suite est infinie.

Les répunits en base 10, définis par , donc supérieurs ou égaux à 111, sont tous brésiliens. Les indices des répunits brésiliens premiers en base 10 se trouvent dans la suite OEISA004023. On conjecture qu'il existe une infinité de répunits premiers en base 10 bien que ceux-ci soient relativement rares. Leur nombre de chiffres est nécessairement premier, sinon ils seraient multiples de 11, 111, 11 111, etc.

Tous les nombres de Mersenne , donc supérieurs ou égaux à 7, sont brésiliens, car ce sont des répunits en base 2. En particulier, tout nombre premier de Mersenne est brésilien. Par exemple, .

Tout nombre de Fermat premier est non brésilien alors que les nombres de Fermat composés sont brésiliens.

La conjecture proposée selon laquelle aucun nombre premier de Sophie Germain n'est brésilien s'avère fausse. Giovanni Resta a montré que le 141385-ème nombre premier de Sophie Germain: 28792661 = 1111173 est brésilien (suite OEISA085104).

Concernant la rareté des nombres premiers brésiliens : sur les 103 , 106 , 109 et 1012 premiers entiers naturels, il y a respectivement : 16,8% , 7,8% , 5,1% et 3,7% de nombres premiers. Et parmi ces nombres premiers, il n'y a que : 8,3% , 0,26% , 0,0076% et enfin 0,000235% de premiers brésiliens. Plus précisément, sur le premier billion d'entiers naturels, il existe 37 607 912 018 nombres premiers dont uniquement 88 285 sont des premiers brésiliens.

On conjecture cependant qu'il existe une infinité de nombres premiers brésiliens.

Nombres composés non brésiliens[modifier | modifier le code]

Les nombres pairs ≥ 8, et les nombres impairs ≥ 15 qui possèdent au moins deux facteurs distincts, sont tous brésiliens. Cependant, il existe des nombres composés non brésiliens, comme les carrés des premiers nombres premiers : 4, 9, 25, 49, mais il existe une unique exception parmi ces carrés.

Si p2 est brésilien , alors p premier doit vérifier l'équation diophantienne

p2 = 1 + b + b2 + ... + bq–1 avec p, b et q premiers.

Le mathématicien norvégien Trygve Nagell a démontré[5] que cette équation ne possède qu'une solution, quand p est premier, correspondant à (p, b, q) = (11, 3, 5) ainsi, 112 = 121 = 111113 et le seul carré de nombre premier qui soit brésilien est donc 121.

Cette équation possède une autre solution avec p non premier correspondant à (p, b, q) = (20, 7, 4), c'est-à-dire : 202 = 400 = 11117, . Il n'existe seulement que deux carrés d'entiers naturels qui soient répunits dans une certaine base, 121 et 400.

Si l'on élargit la recherche aux puissances pures qui sont répunits dans une certaine base, on est amené à résoudre l'équation diophantienne de Nagell-Ljunggren[6]

nt = 1 + b + b2 +...+ bq–1 avec b, n, t > 1 et q > 2.

Yann Bugeaud et Maurice Mignotte conjecturent[7] qu'il n'existe que trois puissances pures qui soient des répunits, et donc des nombres brésiliens répunits : 121, 343 et 400. La seule nouvelle solution est le cube 343 = 73 = 11118.

En conséquence, il existe une infinité de nombres composés non brésiliens, ce que montre la suite des carrés de nombres premiers ≥ 13. Plus précisément, la suite des nombres composés non brésiliens : 4, 6, 9, 25, 49, 169, 289, 361, 529,... est proposée dans la séquence OEISA190300.

Nombres plusieurs fois brésiliens[modifier | modifier le code]

  • Il existe des nombres qui ne sont pas brésiliens et des nombres qui sont brésiliens ; parmi ces derniers, certains sont une seule fois brésilien, d'autres deux fois, ou trois fois, ou quatre...Un nombre k fois brésilien sera appelé nombre k-brésilien.
  • A l'exception des nombres 1 et 6, les nombres non brésiliens ou nombres 0-brésiliens sont constitués uniquement de nombres premiers et de carrés de nombres premiers. La suite des nombres non brésiliens débute par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25etc. (voir suite OEISA220570).
  • La suite des nombres 1-brésiliens se compose de nombres premiers, du seul carré de nombre premier qui soit brésilien 121, et des nombres composés ≥ 8 qui ne sont le produit que de deux facteurs tels que n = a × b = aab–1 avec 1 < a < b – 1. On retrouve cette séquence ici : OEISA288783.
  • Parmi les nombres 2-brésiliens (voir suite OEISA290015), on ne retrouve que des nombres composés et seulement deux nombres premiers : 31 et 8191. En effet, selon la conjecture de Goormaghtigh, les seules solutions de l'équation diophantienne :
    avec x, y > 1 et n, m > 2
    sont :
    • (pxymn) = (31, 5, 2, 3, 5) correspondant à 31 = 111112 = 1115, et,
    • (pxymn) = (8191, 90, 2, 3, 13) correspondant à 8191 = 11111111111112 = 11190, où 11111111111 est le répunit constitué de treize fois le chiffre 1.
  • Il existe pour chaque séquence de nombres k-brésiliens, un nombre qui en est le plus petit élément. La suite de ces plus petits nombres k fois brésiliens débute par 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360etc. et se trouve dans OEISA284758.
    Ainsi, 40 est le plus petit entier 4-brésilien avec 40 = 11113 = 557 = 449 = 2219.
  • Dans le Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers[8], Daniel Lignon propose qu'un entier soit hautement brésilien s'il possède davantage d'écritures le définissant comme nombre brésilien que n'importe quel entier inférieur ou égal à lui. Cette définition s'inspire de celle de nombre hautement composé introduite par Srinivasa Ramanujan en 1915.
    Les premiers nombres hautement brésiliens sont 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720etc. et se trouvent dans OEISA066044, excepté le nombre 3 qui n'est pas brésilien.
    On remarquera que de 1260 à 50400, les nombres hautement composés successifs sont exactement les nombres hautement brésiliens successifs (voir OEISA279930).

Références[modifier | modifier le code]

  1. P. Bornsztein, Hypermath, Paris, Vuibert, , exercice a35, p. 7.
  2. http://www.les-mathematiques.net/phorum/
  3. B. Schott, « Les nombres brésiliens », Quadrature, vol. 76,‎ , disponible dans les liens de la suite A125134 de l'OEIS.
  4. Gérard Villemin, « Nombres repbase & nombres super-repdigits ».
  5. Trygve Nagell, « Sur l'équation indéterminée (xn-1)/(x-1) = y2 », Norsk Matematisk Forenings Skrifter, série I, vol. 3,‎ , p. 17.
  6. (no) Wilhelm Ljunggren, « Noen setninger om ubestemte likninger av formen (xn-1)/(x-1) = yq », Norsk matematisk tidsskrift, vol. 25,‎ , p. 17-20.
  7. Yann Bugeaud et Maurice Mignotte, « L'équation de Nagell-Ljunggren (xn-1)/(x-1) = yq », L'Enseignement mathématique, vol. 48,‎ , p. 147-168 (lire en ligne).
  8. Daniel Lignon, Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, , p. 420.