Nombre autodescriptif

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En mathématiques, un nombre autodescriptif ou autobiographique est un entier naturel dont le premier chiffre indique le nombre de 0 qu'il contient, le deuxième chiffre le nombre de 1, etc., en respectant l'ordre numérique.

Exemple[modifier | modifier le code]

Dans le système décimal, 1 210 est un nombre autodescriptif :

Chiffres 0 1 2 3
Occurrences 1 2 1 0

puisqu'il contient un 0, deux 1, un 2 et zéro 3.

Liste exhaustive, dans le système décimal[modifier | modifier le code]

Un nombre autodescriptif :

  • comporte au moins un zéro, puisque l'écriture décimale d'un entier (non nul) ne peut commencer par un zéro (donc l'occurrence de 0 est non nulle) ;
  • comporte au plus dix chiffres, puisqu'un entier s'écrit à l'aide de chiffres (compris entre 0 et 9) ;
  • a un nombre de chiffres égal à la somme de ses chiffres.

Le recensement d'autres propriétés analogues permet de déterminer tous les nombres autodescriptifs, dont voici la liste[1] :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 1 0
2 0 2 0
2 1 2 0 0
3 2 1 1 0 0 0
4 2 1 0 1 0 0 0
5 2 1 0 0 1 0 0 0
6 2 1 0 0 0 1 0 0 0

Cette liste constitue la suite A046043 de l'OEIS.

Définitions alternatives[modifier | modifier le code]

Par généralisation[modifier | modifier le code]

La liste précédente peut être complétée si l'on ne se limite plus aux chiffres, en prenant en compte les occurrences de « sous-chaînes ».

Par exemple, on lit sur le nombre 53 110 100 002 la présence de deux sous-chaînes 10 : 531[10][10]0002

Sous-chaînes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Occurrences 5 3 1 1 0 1 0 0 0 0 2

ce qui en fait un nombre autodescriptif si l'on généralise la définition.

On peut de même ajouter les sous-chaînes 11, 12, etc.[2].

Par restriction[modifier | modifier le code]

La première liste peut être au contraire rendue plus restrictive.

Dans l'exemple initial : 1 210, on compte le nombre de 3, alors que ce chiffre ne figure pas. Comme dit précédemment, la présence d'un 0 est cependant obligatoire. On peut alors imposer d'indiquer l'occurrence de chacun des dix chiffres, et un nombre autodescriptif doit donc lui-même contenir dix chiffres.

Seul 6 210 001 000 répond à cette définition[3].

Bases autres que 10[modifier | modifier le code]

La présentation précédente privilégie le système décimal. Il est néanmoins possible de définir un nombre autodescriptif dans d'autres bases[4].

Par exemple, 389 305 s'écrit 3211000 en base 7 et le tableau

Chiffres en base 7 0 1 2 3 4 5 6
Occurrences 3 2 1 1 0 0 0

montre qu'il s'agit d'un nombre autodescriptif dans cette base.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Tanya Khovanova (en), « Autobiographical Numbers » [PDF], (arXiv 0803.0270, consulté le 31 décembre 2019).
  2. Éric Angelini, « Jeux de suites », Pour la science, no 59,‎ (lire en ligne, consulté le 31 décembre 2019).
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Self-Descriptive Number », sur MathWorld (consulté le 31 décembre 2019).
  4. (en) « Autobiographical Numbers », sur Online Judge (consulté le 31 décembre 2019).

Lien externe[modifier | modifier le code]