NL (complexité)

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En informatique théorique, plus précisément en théorie de la complexité, NL est une classe de complexité. Cette classe est aussi appelée NLogSpace[réf. nécessaire]. C'est l'ensemble des problèmes de décision qui peuvent être décidés par des machines de Turing non déterministes dont l'espace de travail est borné par une fonction logarithmique.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Si l'on appelle , l'ensemble des problèmes de décision qui peuvent être décidés par des machines de Turing non déterministes utilisant un espace pour une fonction en la taille de l'entrée , alors on définit [1].

Un problème A est NL-dur si tout problème de NL se réduit en espace logarithmique à A. Un problème est NL-complet s'il est dans NL et NL-dur.

Exemples de problèmes NL-complets[modifier | modifier le code]

Les problèmes de décision suivants sont NL-complets :

  • le problème de l'accessibilité (aussi appelé s-t-accessibilité) : étant donné un graphe orienté G, et deux sommets s et t de G, y a-t-il un chemin de s à t dans G ?
  • 2-SAT, la restriction du problème SAT (qui est NP-complet) aux ensembles de clauses d'au plus deux littéraux.
  • décider si le langage d'un automate fini non-déterministe est vide[2],[3],[4].
  • décider si le langage d'un automate fini déterministe (avec un alphabet non unaire) est vide[3]. Si l'alphabet est unaire, le problème devient L-complet[3].
  • décider si le langage d'une automate fini déterministe est le langage de tous les mots[3] (attention, si l'automate fini est non-déterministe, le problème devient PSPACE-complet[5]).

Relations avec les autres classes[modifier | modifier le code]

Représentations des inclusions des classes usuelles

La classe NL est une classe relativement petite parmi les classes usuelles. On a notamment NL P.

Comme pour toutes les classes, la variante non déterministe contient la version déterministe, on a donc LNL. Au 1er janvier 2015, l'autre sens NL L est un problème ouvert. Un autre résultat est donné par le théorème de Savitch[6] :

Théorème de Savitch — 

Un autre résultat est le théorème dû à Neil Immerman et Róbert Szelepcsényi :

Théorème d'Immerman-Szelepcsényi —  , pour toute fonction , en particulier NL=co-NL

La classe NL est incluse dans NC, même plus précisément dans NC2[7]. Pour le démontrer, on construit un circuit de taille polynomiale et de profondeur polylogarithmique pour le problème d'accessibilité qui est NL-complet. On montre aussi que la classe NC est stable par réduction logarithmique.

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Définition par certificat[modifier | modifier le code]

Une définition par certificat est aussi possible, comme pour NP. Les contraintes à ajouter sont les suivantes : le vérificateur est unidirectionnel, c'est-à-dire que la tête de lecture ne peut pas revenir en arrière, et il travaille en espace logarithmique[8].

Définition de complexité descriptive[modifier | modifier le code]

En complexité descriptive, NL correspond à la logique du premier ordre avec fermeture transitive[9].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.3 (« Considérations de base sur l’espace : comparaison avec les classes en temps »), p. 109
  2. « Examen qui pose cette question »
  3. a, b, c et d « Space-bounded reducibility among combinatorial problems », Journal of Computer and System Sciences, vol. 11, no 1,‎ , p. 68–85 (ISSN 0022-0000, DOI 10.1016/S0022-0000(75)80050-X, lire en ligne)
  4. « Complexity of universality and related problems for partially ordered NFAs », Information and Computation, vol. 255,‎ , p. 177–192 (ISSN 0890-5401, DOI 10.1016/j.ic.2017.06.004, lire en ligne)
  5. Alfred V. Aho et John E. Hopcroft, The Design and Analysis of Computer Algorithms, Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., (ISBN 0201000296, lire en ligne)
  6. Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.5.2 (« Théorème de Savitch »), p. 118.
  7. (en) Papadimitriou, Computational complexity, Theorem 16.1 (p. 395)
  8. Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, , 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 4.5.1 (« Certificats unidirectionnels »), p. 117.
  9. (en) Neil Immerman, « Languages Which Capture Complexity Classes », 15th ACM STOC Symp.,‎ , p. 347-354 (lire en ligne).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A Modern Approach, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-42426-7), chap. 4 (« Space complexity »)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) La classe NL sur le Complexity Zoo