NC (complexité)

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En théorie de la complexité, un domaine de l'informatique théorique, NC (pour Nick's class) est une classe de complexité faisant intervenir le parallélisme. C'est l'ensemble des problèmes de décision décidés en temps polylogarithmique par un nombre polynomial de machines en parallèle. Elle correspond aux problèmes considérés comme facilement traitables par une architecture parallèle. La classe a été nommée par Stephen Cook en l'honneur de Nick Pippenger (en)[1].

Par exemple, le (problème de décision associé au calcul du) produit matriciel est dans NC.

Définition[modifier | modifier le code]

Un problème A est dans NC s'il existe deux constantes c et k telles qu'il est possible de résoudre A en un temps en utilisant processeurs en parallèle.

On peut donner une définition plus précise grâce aux circuits booléens. L'idée est que deux portes logiques peuvent calculer leur sortie en parallèle. Ainsi, le nombre de portes logiques est — grosso modo — le nombre de processeurs. La profondeur du circuit représente le temps d'exécution. Plus précisément, pour tout , on définit d'abord la classe NCc comme l'ensemble des langages décidés par une famille de circuits (où est la taille de l'entrée) dits uniformes (c'est-à-dire que l'on peut calculer effectivement à partir de l'entier ) de taille polynomiale en et de profondeur . La classe NC est alors .

Ces deux définitions sont équivalentes[1].

Exemples de problèmes dans NC[modifier | modifier le code]

Les problèmes de décisions associés aux problèmes de calcul suivants sont dans NC :

  • addition de deux entiers (plus précisément dans AC0), multiplication de deux entiers dans NC1 mais pas dans AC0;
  • addition de deux matrices, multiplication de deux matrices ;
  • calculer un couplage maximal dans un graphe[réf. nécessaire] ;
  • La fonction parité de n bits est dans NC1 : on construit, façon diviser pour régner, un arbre binaire de porte XOR, qui peuvent se réécrire avec des portes NOT, AND et OR et ainsi obtenir un circuit de hauteur O(log n)[2]. La fonction parité n'est pas dans AC0.

Relations avec les autres classes[modifier | modifier le code]

Les relations suivantes sont connues, elles mettent en jeu les classes L, NL et P :

On peut aussi définir la classe AC et des classes ACi de façon analogue à NC et NCi sauf que l'arité des portes logiques est non bornée. En fait, comme , pour tout i, on a[3] : AC = NC.

Ruzzo[4] a montré que NC est exactement la classe des problèmes de décision décidés par une machine de Turing alternante en espace log n avec un nombre d'alternances (log n)O(1), c'est-à-dire que NC = STA(log n, *, (log n)O(1)) où STA(s(n), t(n), a(n)) est la classe des problèmes de décision décidés par une machine de Turing alternante en espace s(n), temps t(n) et alternances a(n)[5].

On ne sait pas si NC est égal à P ou pas. Comme le précise Arora et Barak[1], on ne sait pas séparer NC1 et la hiérarchie polynomiale PH.

Problème ouvert au sujet de l'effondrement[modifier | modifier le code]

Une question importante en théorie de la complexité est de savoir si les inclusions de la hiérarchie NC sont stricts ou non. Papadimitriou a observé que si NCi = NCi+1 pour un certain i, alors NCi = NCj pour tout j ≥ i, et ainsi, NCi = NC. Cette observation s'appelle un effondrement de la hiérarchie NC car une seule égalité dans la chaine d'inclusions

implique que toute la hiérarchie NC s'effondre au niveau i. Ainsi, il y a deux possibilités :

Les chercheurs pensent[réf. nécessaire] qu'à priori les inclusions sont strictes (1) mais il n'y a pas de démonstrations.

Théorème de Barrington[modifier | modifier le code]

Barrington a démontré que la classe NC non uniforme correspond aux problèmes décidés par des programmes branchées définies de la façon suivante.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) La classe NC sur le Complexity Zoo

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A Modern Approach, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-42426-7) 6.7.1.
  2. (en) « Cours - Lecture 2: The Complexity of Some Problems » [PDF].
  3. (en) « Boolean Functions and Computation Models - Springer », sur link.springer.com (consulté le 9 juin 2016).
  4. (en) Walter L. Ruzzo, « On uniform circuit complexity », Journal of Computer and System Sciences, vol. 22, no 3,‎ , p. 365–383 (DOI 10.1016/0022-0000(81)90038-6, lire en ligne).
  5. (en) Dexter C. Kozen, Theory of Computation, Springer Publishing Company, Incorporated, (ISBN 1849965714 et 9781849965712, lire en ligne).