Multivecteur

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Un multivecteur est le résultat d'un produit défini pour les éléments d'un espace vectoriel V. Un espace vectoriel muni d'une opération linéaire de produit entre ses éléments est une algèbre; on peut compter parmi les exemples d'algèbres sur un corps celles des matrices et des vecteurs.[1],[2],[3]. L'algèbre des multivecteurs est construite grâce au produit extérieur ∧ et est liée à l’algèbre extérieure des formes différentielles[4].

L'ensemble des multivecteurs d'un espace vectoriel V est gradué par le nombre de vecteurs de la base de V qui forment un multivecteur de l’ensemble. Un multivecteur produit de p vecteurs de base est appelé multivecteur de grade p, ou p-vecteur. La combinaison linéaire de p-vecteurs de base forme un espace vectoriel noté Λp(V). Le grade maximal d'un multivecteur est la dimension de V.

Le produit d'un p-vecteur et d'un k-vector est un (k + p)-vecteur, l'ensemble des combinaisons linéaires de tous les multivecteurs sur V est une algèbre associative et close par le produit extérieur. Cette algèbre, notée Λ(V), est appelée l'algèbre extérieure de V[5].

Définition[modifier | modifier le code]

Soit n l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique[pourquoi ?]

Si l'on se donne m vecteurs , on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :

Si l'on note , alors l'espace des m-vecteurs sur ℝn, noté usuellement Λmn, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de ℝn. Par exemple sur ℝ4, c'est le cas de mais pas de .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cet espace est muni d'une base canonique qui est

donc sa dimension est le coefficient binomial .

De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.

Si m = n, alors

det

Interprétation[modifier | modifier le code]

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel P de dimension m, dont l'expression en donnerait la base orientée.[incompréhensible]

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur est un multiple positif de v.

Si est une base orthonormée, alors

si et seulement si ces vecteurs sont liés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. F. E. Hohn, Elementary Matrix Algebra, Dover Publications, 2011
  2. H. Kishan, Vector Algebra and Calculus, Atlantic Publ., 2007
  3. L. Brand, Vector Analysis, Dover Publications, 2006
  4. H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963
  5. (en) Baylis, Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V, Birkhäuser, (ISBN 0-8176-3715-X, lire en ligne), p. 234, see footnote

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]