Multivecteur

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Définition[modifier | modifier le code]

Soit n l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique[pourquoi ?]

(e_1,\ldots,e_n).

Si l'on se donne m vecteurs v_1,\ldots,v_m, on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :

v_1 \wedge\ldots\wedge v_m.

Si l'on note e_{ij} = e_i \wedge e_j, alors l'espace des m-vecteurs sur ℝn, noté usuellement Λmn, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :

\sum_{i_1<\ldots<i_m}{a_{i_1,\ldots,i_m}e_{i_1,\ldots,i_m}}.

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de ℝn. Par exemple sur ℝ4, c'est le cas de e_{12} + 2 e_{13} - e_{23} = ( e_1 + e_3) \wedge ( e_2 + 2 e_3) mais pas de e_{12} + e_{34}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cet espace est muni d'une base canonique qui est

\{e_{i_1,\ldots,i_m}\mid i_1 <\ldots< i_m\}

donc sa dimension est le coefficient binomial C_n^m.

De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.

Si m = n, alors

v_1 \wedge\ldots\wedge v_n = det[v_1,\ldots,v_n]e_{1,\ldots,n}.

Interprétation[modifier | modifier le code]

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel de dimension m P, dont  v = v_1 \wedge\ldots\wedge v_m en donnerait la base orientée.[incompréhensible]

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur  v'_1 \wedge\ldots\wedge v'_m est un multiple positif de v.

Si  v_1 ,\ldots, v_m est une base orthonormée, alors \| v_1 \wedge\ldots\wedge v_m \| =1.

v_1 \wedge\ldots\wedge v_m = 0 si et seulement si ces vecteurs sont liés.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]