Multiplicateur de Schur

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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

,

alors, par la formule d'homologie entière de Hopf[1], le multiplicateur de Schur est isomorphe à

,

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba−1b−1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (c.-à-d. initiale – donc unique) p : E G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G[2]. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est

.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur[3],[4],[5], peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes.

Exemple

Le groupe alterné An est parfait si n ≥ 5 (car simple et non abélien). Son multiplicateur de Schur est[6] :

La représentation standard AnSOn–1 produit, par restriction de l'extension centrale 0 → ℤ/2ℤ → Spinn–1 → SOn–1 → 1, une extension centrale

qui, si n ≠ 6, 7, est l'extension centrale universelle de An[6].

Notes et références

  1. (de) Heinz Hopf, « Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe », Comment. Math. Helv., vol. 14,‎ , p. 257-309 (Math Reviews 0006510, zbMATH 0027.09503).
  2. (en) Robert Steinberg, Lectures on Chevalley Groups, Yale University, (lire en ligne), p. 74-78.
  3. (de) J. Schur, « Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 127,‎ , p. 20-50 (lire en ligne).
  4. (de) J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 132,‎ , p. 85-137 (lire en ligne).
  5. (de) J. Schur, « Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 139,‎ , p. 155-250 (lire en ligne).
  6. a et b (en) Charles A. Weibel (en), An Introduction to Homological Algebra, CUP, (lire en ligne), p. 202.