Moyenne arithmético-géométrique

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.

Définition

Étant donné deux réels positifs $a$ et $b$, on définit deux suites positives $(u_{n})$ et $(v_{n})$, de premiers termes $u_{0}=a$, $v_{0}=b$ et satisfaisant les relations de récurrence :

$u_{n+1}={\sqrt {u_{n}v_{n}}}$

$v_{n+1}={\frac {u_{n}+v_{n}}{2}}$.

Les deux suites $(u_{n})_{n\geq 1}$ et $(v_{n})_{n\geq 1}$ sont adjacentes : $v_{n}\geq u_{n}$ pour tout $n\geq 1$ (car $v_{n+1}-u_{n+1}={\frac {({\sqrt {v_{n}}}-{\sqrt {u_{n}}})^{2}}{2}}$), si bien que $(u_{n})_{n\geq 1}$ est croissante ($u_{n+1}\geq u_{n}$), $(v_{n})_{n\geq 1}$ est décroissante ($v_{n+1}\leq v_{n}$), et
$0\leq v_{n+1}-u_{n+1}\leq v_{n+1}-u_{n}={\frac {v_{n}-u_{n}}{2}}$ donc $v_{n}-u_{n}\to 0$. D'après le théorème des suites adjacentes, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ont donc une limite commune, $M(a,b)$, appelée la moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$.

Formule exacte sous forme d'intégrale elliptique

Gauss a obtenu une formule exacte donnant $M(a,b)$ à l'aide d'une intégrale elliptique:

${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$

où K(k) est l'intégrale elliptique de première espèce :

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$

(il a montré, en utilisant le changement de variable $t=(v_{n}\tan \theta -u_{n}/\tan \theta )/2$, que l'intégrale ne change pas en passant de $n$ à $n+1$).

La moyenne arithmético-géométrique est bien une moyenne

Étant donné deux réels positifs $a$ et $b$ :

• $M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)$ ;
• par conséquent, $M(a,b)=M(b,a)$ ;
• il ressort directement de la définition que pour $t\geq 0$, $M(ta,tb)=tM(a,b)$. Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en $a$ et $b$ ;
• $\min(a,b)\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max(a,b)$, l'égalité n'intervenant que lorsque $a=b$.

Vitesse de convergence

Supposons $0<b\leq a$ et posons $c_{n}:=v_{n}-u_{n}$.

Il résulte de la majoration : $c_{n+1}={\frac {(v_{n}-u_{n})^{2}}{2({\sqrt {v_{n}}}+{\sqrt {u_{n}}})^{2}}}\leq {\frac {c_{n}^{2}}{8b}}$ que ce processus est à convergence quadratique.

Histoire

La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de 1^re espèce, Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attention sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli) : ${\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$.

Notes et références

Bibliographie

(en) E. T. Whittaker et G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (en), Cambridge, coll. « Cambridge Mathematical Library », 2000, 4^e éd. (1^re éd. 1927), p. 515

Lien externe

Antoine Chambert-Loir, « Le fabuleux destin de la moyenne arithmético-géométrique », sur Département de Mathématiques d’Orsay