Monoïde apériodique

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En mathématiques, un demi-groupe apériodique est un demi-groupe S tel que pour tout élément x de S, il existe un entier naturel n tel que xn = xn+1. Un monoïde apériodique est un demi-groupe apériodique unifère.

Un sous-demi-groupe G d'un demi-groupe S est un groupe de S ou un groupe dans S s'il existe un idempotent e tel que (G, e) soit un groupe.

Monoïde apériodique fini[modifier | modifier le code]

Un demi-groupe fini S est apériodique si et seulement si les groupes de S sont triviaux, c'est-à-dire réduits à un élément.

On peut exprimer l'apériodicité comme suit au moyen des relations de Green : un demi-groupe fini est apériodique si et seulement si sa relation de Green est triviale.

Un célèbre résultat de la théorie des automates, dû à Marcel-Paul Schützenberger[1], est le suivant :

Théorème (Schützenberger 1965) — Un langage rationnel est sans étoile si et seulement si son monoïde syntaxique est fini et apériodique.

Une des conséquences de la théorie de Krohn-Rhodes (en) est que tout monoïde apériodique fini divise le produit en couronne de plusieurs copies du monoïde à 3 éléments formé d'un élément neutre et de deux zéros à droite.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Aperiodic monoid » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Marcel-Paul Schützenberger, « On finite monoids having only trivial subgroups », Information and Control, vol. 8, no 2,‎ , p. 190-194.

Article lié[modifier | modifier le code]