Moment d'une force (mécanique)

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Moment d'une force
Description de cette image, également commentée ci-après

Même si les poids sont différents, l'équilibre est assuré si la somme des moments par rapport à l'axe de rotation est nulle.

Unités SI  N⋅m
joule par radian[1]
Base SI kgm2s-2rad-1
Nature Grandeur vectorielle (pseudovecteur) extensive
Symbole usuel
Expressions

Le moment d'une force par rapport à un point donné est une grandeur physique vectorielle traduisant l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de ce point, souvent appelé pivot. Il s'exprime habituellement en N·m (newton mètre), et peut l'être de manière équivalente en joule par radian. Le moment d'un ensemble de forces, et notamment d'un couple, est la somme (géométrique) des moments de ces forces.

La projection du moment (d'une force par rapport à un point) sur un axe Δ (orienté) contenant le point s'appelle moment de la force par rapport à l'axe Δ : c'est une grandeur scalaire algébrique exprimée dans la même unité, et traduisant de même la faculté de la force appliquée à faire tourner le système mécanique autour de l'axe Δ, le signe du moment par rapport à l'axe traduisant le sens de la rotation par rapport à l'orientation choisie de l'axe.

Approche élémentaire : le levier[modifier | modifier le code]

Basculera, basculera pas ?

Le concept de moment d'une force par rapport à un point, par se distinguant de la force appliquée en un point, remonte dans sa formulation à l'étude d'Archimède sur les leviers. En mécanique statique, c'est l'étude de l'équilibre des moments qui permet de prévoir l'équilibre des bras d'une balance ou l'effet de levier d'une articulation. En dynamique du solide, c'est le déséquilibre de ces mêmes moments qui va mettre en rotation le corps qui y est soumis.

Pour déséquilibrer une planche en équilibre au bord d'un muret, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de basculement.

Le « pouvoir de basculement » dépend donc de l'intensité de la force, mais également de la position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré. On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui représente l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot.

La capacité à mettre en mouvement un solide par rapport à un axe de rotation correspond également à la mobilisation d'une certaine énergie, qui est ici fournie par la force dont on étudie l'effet de levier. Sous l'effet d'une rotation élémentaire dθ, le point P d'application de la force se déplace d'une distance rdθ, si r est le « bras de levier », c'est à dire la distance du point P à l'axe de rotation. L'énergie fournie au solide dépendra du produit de cette distance rdθ par la composante de la force parallèle à ce déplacement. Le « pouvoir de basculement » de la force sera donc plus exactement le produit du bras de levier par la composante tangentielle de la force.

Une balance romaine illustre parfaitement ce qu'est l'égalité des moments. Lors d'une pesée, les deux poids suspendus sont sensiblement perpendiculaires au fléau, et donc le « pouvoir de basculement » des deux poids sera équilibré si le produit du poids par la distance est égal dans les deux cas. D'un côté, la distance est fixe mais le poids est inconnu, de l'autre le poids est fixe mais la distance est variable, et la balance permet donc de lire le poids inconnu sur la gradation de longueur portée par le fléau.

Grandeur physique[modifier | modifier le code]

Moment scalaire d'une force[modifier | modifier le code]

Données du problème et décomposition de la force.

Le moment d'une force s'apprécie par rapport à l'axe autour duquel le solide va tourner. Il s'agit soit d'un axe imposé physiquement par une liaison mécanique, comme dans le mouvement d'une roue, soit du mouvement d'orientation de ce solide par rapport à son centre de gravité, indépendamment du mouvement de ce centre. Dans le cas d'un axe physique, le moment peut être étudié par projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, puisque la composante parallèle n'entraînera pas de rotation autour de l'axe. Dans le cas du mouvement autour du centre de gravité, le moment peut de même être étudié dans le plan défini par le centre de gravité, le point d'application de la force, et la direction de cette force, parce que la rotation aura lieu nécessairement par rapport à ce plan faute d'une effort en rotation dans la direction perpendiculaire. Dans un cas comme dans l'autre, le phénomène physique peut s'analyser dans un plan, et l'on cherche à déterminer l'effort en rotation autour d'un point O d'une force appliquée en un point P.

Dans le plan d'étude, si l'on note le vecteur et l'angle de à , on voit qu'il est possible de décomposer la force et son effet en deux composants, l'un parallèle à et d'intensité , l'autre perpendiculaire et d'intensité . Clairement, la composante parallèle ne peut pas jouer de rôle dans une rotation par rapport à O, puisqu'elle ne fait que pousser contre l'axe de rotation ; et donc l'effort en rotation ne peut être proportionnel qu'à la composante .

Par définition, le moment M par rapport à un point O d'une force appliquée en un point P est proportionnel à cette composante et à la distance . De manière équivalente, le moment est égal à l'intensité de la force, et au bras de levier de son point d'application, c'est à dire la distance entre le point O et la droite passant par P et de direction , laquelle vaut  :

Représentation vectorielle du moment[modifier | modifier le code]

Règle générale de la main droite :
pouce index = majeur.

Par construction, l'effet du moment est ce qui va faire tourner le système physique autour du point O, dans une rotation contenue dans le plan de la figure. Dans l'étude du mouvement d'un solide en trois dimensions, la rotation induite est celle qui fait glisser sur lui-même le plan passant par le point P d'application de la force, le centre O, et contenant la direction de la force , c'est à dire le plan d'étude précédent. Cette même rotation laisse invariant l'axe de rotation, qui est la perpendiculaire à ce plan passant par le centre O.

Physiquement, donc, le moment d'une force par rapport à un point ne peut pas se limiter à un scalaire , l'effet du moment est intrinsèquement lié à une directionnalité, qui va ici déterminer l'axe de rotation. L'association d'une norme et d'une direction correspond à la notion de vecteur, la définition complète du moment aura ainsi un caractère vectoriel.

Par convention, la représentation du moment sera un vecteur porté par l'axe de rotation, de norme , et dont le sens est donné par la règle de la main droite. Cette construction est, par définition, celle du produit vectoriel des deux vecteurs et :

Mnémoniques[modifier | modifier le code]

Force qui pousse et index vers le point d'application donnent l'orientation du couple, mais avec la main gauche.

La règle de la main droite est une règle générale d'orientation de l'espace, permettant de déterminer dans quel sens est conventionnellement représenté un produit vectoriel. Les trois doigts étant pris dans l'ordre, pouce, index et majeur, la règle est que le produit vectoriel du pouce par l'index est conventionnellement dans la direction du majeur.

La règle de la main droite est la règle générale d'orientation des trièdres directs, doit il faut se rappeler en priorité. Pour appliquer cette règle, il faut bien noter que dans le produit vectoriel, le déplacement est pris avant la force , parce que l'inversion des deux vecteurs donnerait le résultat inverse (le produit vectoriel est antisymétrique). Pour s'en souvenir, on peut se rappeler que pour faire tourner un système, c'est le point d'application qui est choisi en premier par rapport au point de rotation, l'intensité de la force appliquée étant variable et déterminée ensuite, et le moment résultant, conséquence des deux précédent, vient évidemment en troisième position. On a donc, dans l'ordre :

Si l'on veut s'appuyer non pas sur la règle générale d'orientation du produit vectoriel, mais sur un mnémonique plus parlant, on peut inverser l'ordre de prise en compte et utiliser la règle de la main gauche pour dire que la « force qui pousse » étant dans la direction du pouce, et l'index indiquant la direction du point d'application, l'orientation du couple est donnée par l'index de la main gauche. Pour se rappeler de la différence, on peut par exemple se dire que l'alliance se portant sur la main gauche, c'est à cette main que l'on repère le couple.

Caractère pseudovectoriel du moment[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Pseudovecteur et Grandeur d'orientation.
Image miroir d'un système physique comportant un pseudovecteur B : le résultat est l'image miroir de B, qui de plus change de signe, à cause de la convention d'orientation.

Comme souligné ci-dessus, un moment est une grandeur physique qui présente un caractère d'orientation marqué, puisqu'il est nécessairement associé à la direction d'un axe de rotation. Étant défini par une norme et une direction, le moment peut être représenté par un vecteur. Mais ce n'est pas un vecteur vrai, au sens physique du terme, comme le sont un déplacement, une vitesse, ou un champ électrique, lesquels sont entièrement déterminés par la physique du système.

Ici, l'axe de rotation donne bien une direction, mais laisse indéterminé le sens suivant lequel doit être compté le vecteur. Ce sens n'est pas donné par la physique du système, mais par une convention : celle de la règle de la main droite, qui gouverne le sens dans lequel doit être compté un produit vectoriel. C'est pour cette raison que l'on nomme le moment un pseudovecteur, non un vecteur vrai, et que comme tous les produits vectoriels, il est parfois noté avec une flèche courbe , pour rappeler ce caractère en partie artificiel (et lié à un mouvement de rotation).

Le caractère « non déterminé physiquement » d'un pseudovecteur transparaît dans ce qui se passe si le système physique est remplacé par son image dans un miroir ou par une symétrie centrale. Les règles de la physique sont normalement indépendantes du choix d'un repère pour les exprimer, et donc, pour tout ce qui est physiquement déterminé, on devrait avoir la même expression, que le repère (i, j, k) soit direct, c'est à dire corresponde à l'ordre des doigts de la main droite, ou indirect, c'est à dire l'image miroir (ou par une symétrie centrale) du précédent, qui reflète l'ordre de la main gauche. Ce n'est pas le cas du moment : si l'on prend l'image du déplacement et de la force par une symétrie centrale, ce qui revient à les changer de signe, le produit vectoriel ne « voit » qu'une rotation d'un demi-tour dans le plan. Il n'est pas transformé en son symétrique mais reste inchangé, parce que par définition, il est toujours gouverné par la règle de la main droite. Ou, de manière équivalente, son image subit la symétrie centrale du système physique, mais de plus change de signe, à cause de la convention d'orientation. Dans le cas d'une symétrie miroir, de même, un pseudovecteur subit la symétrie physique, et de plus change de signe à cause de la convention d'orientation.

Unités[modifier | modifier le code]

Dans le Système international d'unités, on exprime le moment en newtons mètres (N⋅m), et le moment a donc théoriquement pour dimension kgm2s-2. La mesure d'un moment (force Λ bras de levier) est effectivement de dimension homogène à un travail ou une énergie (en joules, force x déplacement), mais il est préférable, pour éviter les confusions, d'exprimer cette grandeur dans l'unité qui rappelle comment elle est définie[2]. Ces deux grandeurs physiques sont en effet de nature différente, l'énergie étant un scalaire, alors que le moment est un pseudovecteur.

Un moment de 1 N⋅m appliqué à un axe représente un apport d'énergie de joule (J) par radian, soit 2π J par tour. L'unité SI du moment peut donc alternativement s'écrire J.rad-1, le terme en radian venant rappeler qu'il s'agit d'une grandeur appartenant au domaine du mouvement de rotation. Dans cette optique, la dimension du moment en unités du système international est en réalité kgm2s-2rad-1, où le terme en « rad » est d'écriture facultative.

Dans des documents historiques, on peut rencontrer le dyne⋅cm valant 10–7 N⋅m, le kg⋅m valant 9,80665 N⋅m, et dans des documents utilisant des unités de mesure anglo-saxonnes, des ounce⋅inch valant 7,06×10–3 N⋅m, des pound⋅foot valant 1,35 N⋅m, pounds⋅inch valant 0,13 N⋅m[3].

Moment et cinématique[modifier | modifier le code]

Le champ vectoriel définissant le moment d'une force en chaque point est un cas particulier de torseur.

Principe fondamental de la dynamique[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Accélération angulaire et Moment d'inertie.

L'accélération angulaire est l'une des variables de la deuxième loi de Newton appliquée en dynamique de rotation. Ainsi, on peut déterminer l'accélération angulaire d'un corps rigide à partir du total des moments de forces qui lui sont appliqués et de son tenseur d'inertie [J], ou de son moment d'inertie JΔ par rapport à un axe Δ :

  • d'une façon générale, la somme de tous les moments de force est égale au produit du tenseur d'inertie [J] par le vecteur accélération angulaire  :
     ;
  • lorsque la rotation ne peut s'effectuer qu'autour d'un axe de rotation fixe Δ, la somme de tous les moments de force par rapport à Δ est égale au produit du moment d'inertie du corps (par rapport à Δ) par son accélération angulaire ω[4],[5] :
    .

Théorème du moment cinétique[modifier | modifier le code]

En dynamique, il est possible de montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

Ce résultat est le théorème du moment cinétique et est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) pour la dynamique de rotation.

Il est également possible de montrer que si est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

  • colinéaire à l'axe de rotation fixe dans (R),
  • dont la norme est la vitesse angulaire
  • et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation

alors :

est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation .

Moment d'une force par rapport à un point[modifier | modifier le code]

Le vecteur moment est normal au plan formé par la force et le bipoint ou . Sa norme est égale au double des surfaces en gris foncé. Ce dessin montre que le moment ne varie pas lorsque le point d'application de la force se déplace le long de sa ligne d'action (en pointillés).
Dans ce cas particulier illustrant la définition de la torsion, le vecteur position est orthogonal à la force . La norme du moment est égale au produit des normes des deux vecteurs et . Le moment est souvent représenté par une flèche circulaire dont le sens correspond à celui de la rotation due à la force.

Définition[modifier | modifier le code]

Le moment d'une force s'exerçant au point par rapport au pivot , est le pseudovecteur :

.

désigne le produit vectoriel.

Remarque sur la notation 
Il existe plusieurs variantes de notation des moments de force ; certaines (comme sur l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, parfois autour de l'ensemble. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments.

Ce pseudovecteur, à la fois orthogonal à et au bipoint , est finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force (il est colinéaire à l'axe de cette rotation). Son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par ).

Si est la distance orthogonale du pivot à la droite d'action, c’est-à-dire , alors la norme du moment vaut :

.

La longueur est appelée bras de levier. Dans le cas bidimensionnel, il est d'usage d'assimiler la norme du moment au moment lui-même, celui-ci ne comportant qu'une composante non nulle.

Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre ( N⋅m), dans le Système international d'unités et leurs dimensions sont  M⋅L2⋅T-2 ; formellement, cette unité a la dimension d'une énergie, et pourrait donc s'exprimer comme valant 1 joule (voir l'article Couple (physique)).

Cas de nullité du moment[modifier | modifier le code]

Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :

  • la force est nulle ;
  • le bipoint est . La force est donc appliquée en .
  • et sont colinéaires ; alors la droite d'action passe par , ce qui inclut aussi le cas précédent.

Translation du pivot : formule de Varignon[modifier | modifier le code]

Lorsque le moment d'une force (appliquée en P) est connu en un point O, il est possible de le recalculer en n'importe quel point Q de l'espace. Cette opération est inévitable lors de la manipulation des torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier . Il vient alors : , d'où la formule dite de Varignon :

Il est souvent retenu en place de la formule de Varignon un moyen mnémotechnique, la formule « BABAR » : avec la force (la Résultante), B le point vers lequel on veut déplacer notre moment, et A le point d'origine.

Il se déduit de cette formule la relation d'équiprojectivité des moments de force :

.

En réalité une force est modélisée par un vecteur (représentant la force) et son point d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La relation d'équilibre liée au principe fondamental de la statique devient une somme de torseurs ; en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport de moments.

Moment d'une force[modifier | modifier le code]

Le moment d'une force F, par rapport à un point O, dont le point d'application est au point M, est défini par :

Un théorème général[modifier | modifier le code]

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces où l'indice . Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

d'où le moment résultant :

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

d'où le théorème général :

Moment par rapport à un axe[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la partie utile du moment d'une force. On définit le moment de la force par rapport à l'axe par , où est un vecteur unitaire de , est un point quelconque de et où les crochets dénotent le produit mixte.

En résumé il s'agit de la composante suivant du moment de exercé en . De ce fait il s'agit d'un nombre scalaire : «  » est une opération de projection sur l'axe . Sur le plan mécanique, c'est la seule composante (dans le cas d'une liaison parfaite au pivot) susceptible de fournir (ou consommer) une puissance. Le « reste » du moment sera subi par le palier. Cette partie complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le dimensionnement du palier.

Le moment par rapport à l'axe est nul si :

  • le moment par rapport au point est nul (cas général précédent) ;
  • la force est dans la direction de l'axe considéré.

Moment d'un couple de forces[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Couple (physique).

De façon générale, un ensemble de forces de points d'application constitue un couple de force si sa résultante est nulle : , mais dont la somme des moments ne l'est pas.

L'exemple le plus simple est celui de deux forces opposées appliquée en et appliquée en , points distincts d'un même système : leur somme est évidemment nulle. Cet exemple est au demeurant à la base de l’appellation « couple de forces ».

Le moment du couple de force est indépendant du point de pivot considéré. Cette quantité est appelée couple. Il n'est pas besoin de préciser le point de rotation. Les deux forces constituent alors un couple de forces.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités, Sèvres, France, BIPM, , 92 p. (ISBN 92-822-2213-6, lire en ligne [PDF]), p. 30.
  2. Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités, Sèvres, France, BIPM, , 92 p. (ISBN 92-822-2213-6, lire en ligne [PDF]), p. 29 ; supplément 2014, mise à jour de la 8e édition de la Brochure sur le SI (2006).
  3. (en) « Guide for the Use of the International System of Units (SI) », sur physics.nist.gov.
  4. Quand l'axe de rotation n'est pas l'un des axes principaux d'inertie du corps considérés l'axe fixe exerce lui-même un moment de force qui se rajoute aux autres.
  5. Benson 2009, p. 337-340 (Expression valable lorsque l'axe de rotation est l'un des axes principaux d'inertie du corps considéré.)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • (histoire des sciences) L'étude de la notion de couple et de moment par Poinsot (1803), en ligne et commenté sur BibNum.