Matrice quaternionique

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Une matrice quaternionique est une matrice dont les éléments sont des quaternions.

Produit de matrices quaternioniques[modifier | modifier le code]

Le corps \mathbb{H} des quaternions, étant un corps gauche, c'est-à-dire non commutatif, il existe deux[réf. nécessaire] manières de multiplier les matrices quaternioniques : le produit hamiltonien[réf. nécessaire], qui respecte l'ordre des facteurs, et le produit octonionique[réf. nécessaire], qui ne le respecte pas.

Produit hamiltonien[modifier | modifier le code]

Le produit matriciel est défini comme pour toutes les matrices à coefficients dans un anneau (non nécessairement commutatif). Par exemple :


U =
\begin{pmatrix}
  u_{11} & u_{12}\\
  u_{21} & u_{22}\\
\end{pmatrix}
\quad

V =
\begin{pmatrix} 
  v_{11} & v_{12}\\
  v_{21} & v_{22}\\
\end{pmatrix}
\quad

UV =
\begin{pmatrix}
  u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21} & u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\
  u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21} & u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\
\end{pmatrix}

Produit octonionique[modifier | modifier le code]

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Le produit octonionique ne respecte pas l'ordre des facteurs : sur la diagonale principale, il y a commutation des deuxièmes produits et sur la deuxième diagonale il y a commutation des premiers produits. 
U =
\begin{pmatrix}
  u_{11} & u_{12}\\
  u_{21} & u_{22}\\
\end{pmatrix}
\quad

V =
\begin{pmatrix}
  v_{11} & v_{12}\\
  v_{21} & v_{22}\\
\end{pmatrix}
\quad

UV =
\begin{pmatrix}
  u_{11}v_{11} + v_{21}u_{12} & v_{12}u_{11} + u_{12}v_{22}\\
  v_{11}u_{21} + u_{22}v_{21} & u_{21}v_{12} + v_{22}u_{22}\\
\end{pmatrix}