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En algèbre linéaire , une matrice carrée d'ordre
n
{\displaystyle n}
à coefficients positifs
A
{\displaystyle A}
est dite productive , ou de Leontief , s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs
P
{\displaystyle P}
de format
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
telle que la matrice colonne
P
−
A
P
{\displaystyle P-AP}
soit à coefficients strictement positifs .
La notion de matrice productive a été développée par l'économiste Wassily Leontief (Prix Nobel d'économie en 1973) afin de modéliser et d'analyser les relations entre les différents secteurs d'une économie[ 1] . Les liens d'interdépendances entre ces derniers peuvent ainsi être étudiés par l'analyse entrées-sorties à l'aide de données empiriques.
La matrice
A
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
est productive si et seulement si
A
⩾
0
{\displaystyle A\geqslant 0}
et
∃
P
∈
M
n
,
1
(
R
)
,
P
>
0
{\displaystyle \exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}
tel que
P
−
A
P
>
0
{\displaystyle P-AP>0}
.
La matrice
A
=
(
0
1
0
0
1
/
2
1
/
2
1
/
4
1
/
2
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1/2&1/2\\1/4&1/2&0\\\end{pmatrix}}}
est productive.
∀
a
∈
R
+
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} _{+}}
, la matrice
A
=
(
0
a
0
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&a\\0&0\\\end{pmatrix}}}
est productive car les inégalités de définition sont vérifiés par
P
=
(
a
+
1
1
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}a+1\\1\\\end{pmatrix}}}
.
Théorème
Une matrice
A
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
à coefficients positifs est productive si et seulement si
I
n
−
A
{\displaystyle I_{n}-A}
est inversible d'inverse à coefficients positifs.
Démonstration
Soit
U
∈
M
n
,
1
(
R
)
,
P
>
0
{\displaystyle U\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}
.
Ainsi la matrice
P
=
(
I
n
−
A
)
−
1
U
{\displaystyle P=(I_{n}-A)^{-1}U}
est à coefficients positifs car produit de deux matrices à coefficients positifs.
De plus,
P
−
A
P
=
(
I
n
−
A
)
P
=
(
I
n
−
A
)
(
I
n
−
A
)
−
1
U
=
U
{\displaystyle P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U}
.
D'où
P
−
A
P
>
0
{\displaystyle P-AP>0}
.
Donc
A
{\displaystyle A}
est productive.
Raisonnons ab absurdo .
Supposons que
∃
P
>
0
{\displaystyle \exists P>0}
tel que
V
=
P
−
A
P
>
0
{\displaystyle V=P-AP>0}
et que
I
n
−
A
{\displaystyle I_{n}-A}
est singulière .
L'endomorphisme canoniquement associé à
I
n
−
A
{\displaystyle I_{n}-A}
n'est pas injectif par singularité de la matrice.
Ainsi
∃
Z
∈
M
n
,
1
(
R
)
{\displaystyle \exists Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )}
non nulle telle que
(
I
n
−
A
)
Z
=
0
{\displaystyle (I_{n}-A)Z=0}
.
La matrice
−
Z
{\displaystyle -Z}
vérifie les mêmes propriétés que
Z
{\displaystyle Z}
, on peut donc choisir
Z
{\displaystyle Z}
comme un élément du noyau ayant au moins un terme strictement positif;
D'où
c
=
sup
i
∈
[
|
1
,
n
|
]
z
i
p
i
{\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}{\frac {z_{i}}{p_{i}}}}
est positif et atteint en au moins une valeur
k
∈
[
|
1
,
n
|
]
{\displaystyle k\in [|1,n|]}
.
Par définition de
V
{\displaystyle V}
et de
Z
{\displaystyle Z}
, nous avons alors:
c
v
k
=
c
(
p
k
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
p
i
)
=
c
p
k
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
c
p
i
{\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}
c
p
k
=
z
k
=
∑
i
=
1
n
a
k
i
z
i
{\displaystyle cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}}
D'où
c
v
k
=
∑
i
=
1
n
a
k
i
(
z
j
−
c
p
j
)
≤
0
{\displaystyle cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{j}-cp_{j})\leq \ 0}
.
Or nous savons que
c
>
0
{\displaystyle c>0}
et que
v
k
>
0
{\displaystyle v_{k}>0}
.
Il y a donc contradiction, ipso facto
I
n
−
A
{\displaystyle I_{n}-A}
est nécessairement inversible.
Supposons désormais que
I
n
−
A
{\displaystyle I_{n}-A}
soit inversible mais d'inverse ayant au moins un terme négatif.
Ainsi
∃
X
∈
M
n
,
1
(
R
)
,
X
⩾
0
{\displaystyle \exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0}
telle que
Y
=
(
I
n
−
A
)
−
1
X
{\displaystyle Y=(I_{n}-A)^{-1}X}
possède au moins un terme négatif.
Alors
c
=
sup
i
∈
[
|
1
,
n
|
]
−
y
i
p
i
{\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}-{\frac {y_{i}}{p_{i}}}}
est positif et atteint en au moins une valeur
k
∈
[
|
1
,
n
|
]
{\displaystyle k\in [|1,n|]}
.
Par définition de
V
{\displaystyle V}
et de
X
{\displaystyle X}
, nous avons alors:
c
v
k
=
c
(
p
k
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
p
i
)
=
−
y
k
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
c
p
i
{\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}
x
k
=
y
k
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
y
i
{\displaystyle x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}}
c
v
k
+
x
k
=
−
∑
i
=
1
n
a
k
i
(
c
p
i
+
y
i
)
{\displaystyle cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})}
D'où
x
k
≤
−
c
v
k
<
0
{\displaystyle x_{k}\leq \ -cv_{k}<0}
car
∀
i
∈
[
|
1
,
n
|
]
,
a
k
i
⩾
0
,
c
p
i
+
y
i
⩾
0
{\displaystyle \forall i\in [|1,n|],a_{k}i\geqslant 0,cp_{i}+y_{i}\geqslant 0}
.
Or nous savons que
X
⩾
0
{\displaystyle X\geqslant 0}
.
Il y a donc contradiction, ipso facto
(
I
n
−
A
)
−
1
{\displaystyle (I_{n}-A)^{-1}}
est nécessairement à coefficients positifs.
Proposition
La transposée d'une matrice productive est productive.
Dans une approche matricielle du tableau entrées-sorties , la matrice de consommation est productive si elle est économiquement viable et si cette dernière ainsi que le vecteur de demande ne comportent que des éléments positifs ou nuls.