Matrice (mathématiques)

En mathématiques, une matrice se présente comme un tableau rectangulaire de nombres ou plus formellement comme une famille d'éléments (souvent appelés coefficients) indexés par un numéro de ligne et un numéro de colonne. Le nombre de lignes et le nombre de colonnes définissent la taille de la matrice. Ses coefficients appartiennent à un même corps commutatif ou à un anneau (voire un demi-anneau), dont les lois de composition servent à définir l’addition de matrices de même taille, ainsi que la multiplication scalaire et le produit matriciel qui fondent notamment l'algèbre linéaire et bilinéaire en dimension finie.

La structure algébrique des matrices permet de résoudre des systèmes d’équations linéaires, d’analyser des données statistiques, de représenter des groupes ou des algèbres de Lie, d’encoder les graphes finis (même orientés ou pondérés) et certaines transformations géométriques, de combiner des relations binaires, de décrire l’évolution de certains systèmes dynamiques en temps continu ou discret, déterministes ou aléatoires…

Pour une matrice à coefficients dans un anneau commutatif, le rang d’une matrice est celui de l'espace engendré par ses colonnes, et égal à celui de la matrice transposée.

L'ensemble des matrices carrées de taille fixée $n>1$ sur un anneau A forme une extension non commutative de A, notée ${\mathcal {M}}_{n}(A)$ et munie d’opérateurs spécifiques comme la trace et (si A est commutatif) le déterminant.

Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices.

Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique, avec les approximations de Gauss.

La définition peut être étendue avec des ensembles d’indices de ligne et de colonne plus généraux (par exemple des classes de congruence d’entiers) voire infinis, mais dans ce cas le produit matriciel pose des problèmes de convergence, et de tels objets sont mieux décrits comme des opérateurs linéaires.

Historique

Histoire de la notion de matrice

Bien que le calcul matriciel proprement dit n'apparaisse qu'au début du XIX^e siècle, les matrices, en tant que tableaux de nombres, ont une longue histoire d'applications à la résolution d'équations linéaires. Le texte chinois Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, écrit vers le II^e siècle av. J.-C., est le premier exemple connu de l'utilisation de tableaux pour résoudre des systèmes d'équations, introduisant même le concept de déterminant. En 1545, Jérôme Cardan fait connaître cette méthode en Europe en publiant son Ars Magna. Le mathématicien japonais Seki Kōwa utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d'équations en 1683. Aux Pays-Bas, Johan de Witt représente des transformations géométriques à l'aide de tableaux dans son livre de 1659, Elementa curvarum linearum. Entre 1700 et 1710, Leibniz montre comment utiliser les tableaux pour noter des données ou des solutions, et expérimente plus de 50 systèmes de tableaux à cet effet. En 1750, Gabriel Cramer publie la règle qui porte son nom.

En 1850, le terme de « matrix » (qui sera traduit par matrice) est forgé (sur la racine latine mater) par James Joseph Sylvester, qui le voit comme un objet donnant naissance à la famille de déterminants actuellement appelés mineurs, c'est-à-dire les déterminants des sous-matrices obtenues en retirant des lignes et des colonnes. Dans un article de 1851, Sylvester précise :

« Dans des articles antérieurs, j'ai appelé matrix un tableau rectangulaire de termes à partir desquels plusieurs systèmes de déterminants peuvent être engendrés, comme issus des entrailles d'un parent commun ».

En 1854, Arthur Cayley publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. Il définit les opérations usuelles du calcul matriciel (addition, multiplication et division) et montre les propriétés d'associativité et de distributivité de la multiplication. Jusque-là, l'utilisation des matrices s'était essentiellement limitée au calcul des déterminants ; cette approche abstraite des opérations sur les matrices est révolutionnaire. En 1858, Cayley publie son A Memoir on the Theory of Matrices, dans lequel il énonce et démontre le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2×2.

Beaucoup de théorèmes ne sont d'ailleurs démontrés au début que pour de petites matrices : après Cauchy, Hamilton généralise le théorème aux matrices 4×4, et ce n'est qu'en 1898 que Frobenius, étudiant les formes bilinéaires, démontre le théorème en dimension quelconque. C'est aussi à la fin du XIX^e siècle que Wilhelm Jordan établit la méthode d'élimination de Gauss-Jordan (généralisant la méthode de Gauss pour les matrices échelonnées). Au début du XX^e siècle, les matrices occupent une place centrale en algèbre linéaire, en partie grâce au rôle qu'elles jouent dans la classification des systèmes de nombres hypercomplexes du siècle précédent.

Un mathématicien anglais du nom de Cullis est le premier, en 1913, à utiliser la notation moderne des crochets (ou des parenthèses) pour représenter les matrices, ainsi que de la notation systématique A = [a_i,j] pour représenter la matrice dont a_i,j est le terme de la i-ème ligne et de la j-ème colonne.

La formulation de la mécanique quantique au moyen de la mécanique matricielle, due à Heisenberg, Born et Jordan, amena à étudier des matrices comportant un nombre infini de lignes et de colonnes. Par la suite, von Neumann précisa les fondements mathématiques de la mécanique quantique, en remplaçant ces matrices par des opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert.

Autres utilisations mathématiques du mot « matrice »

Deux mathématiciens notables au moins ont utilisé le mot dans un sens inhabituel.

Bertrand Russell et Alfred North Whitehead, dans leur Principia Mathematica, utilisent le mot « matrice » dans le cadre de leur axiome de réductibilité (en). Cet axiome permet de réduire le type d'une fonction, les fonctions de type 0 étant identiques à leur extension (en) ; ils appellent « matrice » une fonction n'ayant que des variables libres. Ainsi, par exemple, une fonction Φ(x, y) de deux variables x et y peut être réduite à une collection de fonctions d'une seule variable, par exemple y, en « considérant » la fonction pour toutes les valeurs a_i substituées à la variable x puis réduite à une « matrice » de valeurs en procédant de même pour y : ∀ b_j, ∀ a_i, Φ(a_i, b_j).

Alfred Tarski, dans son Introduction à la logique de 1946, utilise le mot « matrice » comme un synonyme de table de vérité.

Définitions

Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau rectangulaire de m × n nombres, rangés ligne par ligne. Il y a m lignes, et dans chaque ligne n éléments.

Plus formellement et plus généralement, soient I, J et K trois ensembles (K sera souvent muni d'une structure d'anneau ou même de corps commutatif).

Une matrice de type (I,J) à coefficients dans K, est une famille d'éléments de K indexée par le produit cartésien I × J, c'est-à-dire une application A de I × J dans K. Son type (I,J) fait partie de la spécification de la matrice, mais pas l'ensemble K (par exemple une matrice à coefficients réels est aussi une matrice à coefficients complexes).

Le plus souvent, comme dans toute la suite de cet article, les ensembles I et J sont finis et sont respectivement les ensembles de nombres entiers {1, …, m} et {1, …, n} . Dans ce cas, on dit que la matrice a m lignes et n colonnes, ou qu'elle est de dimension ou taille (m,n). En notant a_i,j l'image d'un couple (i,j) par l'application A, la matrice peut alors être notée

$A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$

ou plus simplement (a_i,j) si le contexte s'y prête.

Dans le cas particulier où I ou J est l'ensemble vide, la matrice correspondante est appelée la matrice vide de type (I,J). Il est nécessaire de distinguer les matrices vides de différents types pour définir le produit matriciel, car le produit de matrices (vides) de tailles respectives (m,0) et (0,n) est une matrice (nulle, mais non vide) de taille (m,n), et dépend donc des entiers m, n.

On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice A, à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :

$A={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\\8&9&10&11\\\end{pmatrix}}$

Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre m de lignes est égal au nombre n de colonnes sera dite matrice carrée de taille (ou d’ordre) n. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et n colonnes est appelée matrice ligne (ou plus souvent vecteur ligne) de taille n. Une matrice comportant m lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne (ou plus souvent vecteur colonne) de taille m.

Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera a_i,j, les coefficients de la matrice A, i compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et j compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi a_2,4 = 7.

La disposition générale des coefficients d'une matrice A de taille (m,n) est donc la suivante

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}}$

Les coefficients a_i,j avec i = j sont dits diagonaux, ceux avec i ≠ j sont dits extradiagonaux.

Une sous-matrice de A est une matrice obtenue en sélectionnant une partie I ⊂ {1,...,m} de ses lignes et une partie J ⊂ {1,...,n} de ses colonnes ; on la note A_I,J. On dit qu'une sous-matrice est principale si I = J dans la définition précédente. La diagonale principale de A est le vecteur

$\operatorname {diag} (A):={\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,2}\\\vdots \\a_{p,p}\end{pmatrix}},$

où p = min(m,n).

Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes

$A={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\\vdots \\L_{m}\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ ou }}\quad A={\begin{pmatrix}C_{1}&C_{2}&\dots &C_{n}\\\end{pmatrix}}.$

L'ensemble des matrices à coefficients dans K possédant m lignes et n colonnes est noté M_m,n(K) (ou parfois M(m,n,K)).

Lorsque m = n on note plus simplement M_n(K).

Soit K un ensemble et A = (a_i,j)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} ∈ M_m,n(K) ; on appelle matrice transposée de A la matrice A^T = (a_j,i)_{1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ m} ∈ M_n,m(K). Si K est un magma, A^T = (a_j,i)_{1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ m} ∈ M_n,m(K^op) où K^op est le magma opposé de K.

Par exemple, avec la matrice A des exemples précédents, on a

$A^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}0&4&8\\1&5&9\\2&6&10\\3&7&11\\\end{pmatrix}}.$

Espaces de matrices

On suppose maintenant que K est muni d'une structure d'anneau ; les éléments de K seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.

Addition des matrices et multiplication par un scalaire

On définit sur M_m,n(K) une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :

$(a_{i,j})+(b_{i,j})=(c_{i,j}),\ {\textrm {avec}}\ c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$.

On ne peut additionner que deux matrices de même taille.

• Exemple :

${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&3&4\\4&6&6&8\\\end{pmatrix}}\end{array}}$

Pour chaque valeur du couple (m, n), l'espace M_m,n(K) devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.

On définit aussi une opération à droite de K sur chaque espace M_m,n(K) en associant, à chaque scalaire λ dans K et à chaque matrice (a_i,j) à coefficients dans K, la matrice (a_i,j)λ = (a_i,jλ) obtenue en effectuant la multiplication à droite, dans K, de tous les coefficients de la matrice initiale par λ : c'est la multiplication par un scalaire. Lorsque l'anneau est commutatif, la multiplication peut également s'effectuer à gauche.

En reprenant toujours la matrice A du premier exemple (voir supra) :

$2A={\begin{pmatrix}0&2&4&6\\8&10&12&14\\16&18&20&22\\\end{pmatrix}}$

Les espaces M_m,n(K) ainsi obtenus ont donc une structure de K-module à droite, et plus particulièrement de K-espace vectoriel, si K est un corps commutatif.

Base canonique de l'espace des matrices

Le K-module M_m,n(K) est libre de rang mn, c'est-à-dire qu'il possède une base de mn éléments : il suffit de considérer la base canonique (E_i,j)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. La matrice E_i,j est celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice (i,j), qui vaut 1.

Les coordonnées dans la base canonique d'une matrice A sont ses coefficients :

$A=\sum _{1\leqslant i\leqslant m \atop 1\leqslant j\leqslant n}a_{i,j}E_{i,j}$

• Exemple :

${\begin{pmatrix}0&1&2\\4&3&1\\\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+4\cdot {\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}+3\cdot {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Produit matriciel

On commence par définir le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Soit n un nombre entier, L une matrice ligne, x_i ses coefficients, C une matrice colonne, y_i ses coefficients. On les suppose toutes deux de taille n. On définit alors le produit, considéré comme un scalaire ou une matrice de dimension (1, 1) :

$LC={\begin{pmatrix}x_{1}&\dots &x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}y_{i}$

On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices (égalité du nombre de colonnes de la première avec le nombre de lignes de la deuxième). On définit maintenant plus généralement un produit entre deux matrices, la première, (x_i,j) dans M_m,n(K), la deuxième, (y_i,j) dans M_n,p(K), toujours avec une condition de compatibilité sur les tailles (et l'ordre des facteurs de la multiplication ne peut en général pas être changé). Le résultat obtenu est une matrice de M_m,p(K), dont les coefficients (z_i,j) sont obtenus par :

$z_{i,j}=\sum _{1\leq k\leq n}x_{i,k}y_{k,j}=x_{i,1}y_{1,j}+x_{i,2}y_{2,j}+\cdots +x_{i,n}y_{n,j}$

À la lumière de l'exemple de la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, on peut reformuler cette définition en disant que ce coefficient est égal au produit de la ligne i de la première matrice par la colonne j de la deuxième, ce qui s'écrit de la manière suivante, si les L_i sont les lignes de la première matrice, et les C_j les colonnes de la deuxième, le produit est : ${\begin{pmatrix}L_{1}\\\vdots \\L_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C_{1}&\dots &C_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}C_{1}&L_{1}C_{2}&\dots &L_{1}C_{p}\\L_{2}C_{1}&L_{2}C_{2}&\dots &L_{2}C_{p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\L_{m}C_{1}&L_{m}C_{2}&\dots &L_{m}C_{p}\\\end{pmatrix}}$.

Le produit matriciel est associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition matricielle. En revanche, même lorsque les dimensions permettent de donner un sens à la question et même si l'anneau des scalaires est commutatif, un produit de matrices ne commute en général pas : AB n'est pas en général égal à BA. On a par exemple :

$A={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\quad B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}\quad AB={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}\quad BA={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.$

Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul, comme ci-dessus ; on dit que l'anneau des matrices n'est pas intègre.

Il arrive même, selon les tailles respectives des matrices A et B, que l'un des deux produits existe et pas l'autre.

Cependant, il existe certaines paires de matrices commutantes.

La transposition et le produit matriciel sont compatibles au sens suivant :

$\forall A\in M_{n,p}(K),\ \forall B\in M_{p,q}(K),\ (AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\cdot A^{\mathsf {T}}$

(même si l'anneau K n'est pas commutatif, en se rappelant que les matrices transposées ont leurs coefficients dans l'anneau opposé K^op).

Actions du groupe linéaire

Il existe plusieurs manières de faire agir le groupe linéaire GL_n(K) sur les espaces de matrices, notamment :

• action par multiplication à gauche de GL_m(K) sur M_m,n(K), qui à P et A, associe PA,
• action (à gauche) par multiplication à droite de GL_n(K) sur M_m,n(K), qui à Q ∈ GL_n(K) et A ∈ M_m,n(K), associe AQ⁻¹,
• action par conjugaison de GL_n(K) sur M_n(K), qui à P ∈ GL_n(K) et A ∈ M_n(K), associe PAP⁻¹.

On décrit maintenant les résultats classiques sur ces actions, lorsque les scalaires forment un corps commutatif. Les deux premières actions sont souvent considérées simultanément ; on s'intéresse donc à la question : deux matrices A et B de dimension (m,n) étant données, existe-t-il des matrices P ∈ GL_m(K) et Q ∈ GL_m(K) telles que A = PBQ⁻¹ ? Si tel est le cas, les deux matrices A et B sont dites équivalentes. Le résultat principal est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, ce qui s'exprime encore en disant que le rang est un invariant complet pour les doubles classes définies par les deux actions de multiplication à gauche et à droite. Par ailleurs, une matrice étant donnée, on peut trouver d'autres matrices privilégiées (les matrices échelonnées) dans la même orbite pour une de ces actions par la méthode du pivot de Gauss.

Pour l'action par conjugaison, deux matrices carrées A et B de taille n dans la même orbite admettent une relation de la forme A = PBP⁻¹, pour une certaine matrice P inversible de taille n ; deux telles matrices sont dites semblables. La description d'un système complet d'invariants (caractérisant des matrices semblables) est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.

Matrices carrées

Une matrice carrée est une matrice avec autant de lignes que de colonnes. Lorsque les coefficients sont pris dans un anneau unitaire R, l’ensemble des matrices carrées de taille n constitue également un anneau non commutatif, dont la matrice identité est l’élément unité. Le sous-ensemble des matrices diagonales constitue un sous-anneau isomorphe à Rⁿ.

Toute matrice carrée a une trace (égale à la somme de ses éléments diagonaux) et un déterminant ; quand son déterminant n'est pas nul, une matrice carrée est inversible. Une matrice carrée a également des éléments propres (valeurs et vecteurs propres).

Interprétations linéaires

Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'algèbre linéaire, avec une certaine canonicité.

Coordonnées

Le premier point est de remarquer que le K-module Kⁿ s'identifie canoniquement à l'espace de matrices colonne M_n,1(K) : si e_i est le n-uplet de Kⁿ dont tous les coefficients sont nuls, sauf le i-ème qui vaut 1, on lui associe la i-ème matrice colonne E_i,1 de la base canonique de M_n,1(K) (celle dont tous les coefficients sont nuls sauf le i-ème qui vaut 1), et on étend l'identification par linéarité ; la matrice associée à chaque n-uplet sera appelée matrice coordonnée canonique.

D'autres identifications sont cependant possibles ; lorsqu'on peut parler de base (si l'anneau des scalaires est un corps, par exemple), on peut associer les matrices colonnes élémentaires à n'importe quelle base de l'espace Kⁿ (ou plus généralement d'un K-module libre), puis à nouveau étendre par linéarité ; les matrices associées seront appelées matrices coordonnées dans la base envisagée.

On peut juxtaposer les matrices coordonnées, dans une base fixée, de plusieurs n-uplets. On obtient ainsi la matrice coordonnée d'une famille de vecteurs. Le rang de la matrice est alors défini comme la dimension de la famille de ces vecteurs. En particulier la matrice d'une base dans une autre base est appelée matrice de passage entre ces deux bases, ou matrice de changement de base. Si X et X' sont les matrices coordonnées du même vecteur dans deux bases B et C, et que P est la matrice de passage de la base C dans la base B, on a la relation (une matrice de passage est toujours inversible) :

$X=PX'\quad X'=P^{-1}X$

Applications linéaires

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et m sur un corps commutatif K, B une base de E, C une base de F et φ une application linéaire de E dans F.

On appelle matrice de φ dans le couple de bases (B, C) la matrice mat_B,C(φ) de M_m,n(K) telle que pour tout vecteur x de E, si l'on note y = φ(x), X = mat_B(x) et Y = mat_C(y), alors :

$Y={\textrm {mat}}_{B,C}(\varphi )\times X.$

Si ψ est une deuxième application linéaire, de F dans un troisième espace vectoriel G de base D, alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ ∘ φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément :

${\textrm {mat}}_{B,D}(\psi \circ \varphi )={\textrm {mat}}_{C,D}(\psi )\times {\textrm {mat}}_{B,C}(\varphi ).$

L'application de L(E, F) dans M_m,n(K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Pour toute matrice M de M_m,n(K), l'application X ↦ MX du K-espace vectoriel M_n,1(K) dans le K-espace vectoriel M_m,1(K) est linéaire. C'est un point clef du lien entre algèbre linéaire et matrices. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice M avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Si B et B' sont deux bases de E, C et C' deux bases de F, P = mat_B(B') la matrice de passage de B vers B' et Q la matrice de passage de C vers C', alors les deux matrices M et M' d'une même application linéaire de E dans F, dans les couples de bases (B, C) et (B', C'), sont liées par : M' = Q⁻¹MP. On constate ainsi que deux matrices équivalentes sont deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes. En particulier, dans le cas d'un endomorphisme, si l'on impose B = C et B' = C', la formule précédente devient : M' = P⁻¹MP et deux matrices semblables sont deux matrices qui représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

Transposition

Soient de nouveau E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, de bases respectives B et C, et φ une application linéaire de E dans F. L'application linéaire transposée ^tφ : F* → E* entre leurs duals est définie par

$\forall y^{*}\in F^{*},\forall x\in E,\quad \left\langle ^{\operatorname {t} }\!\varphi \left(y^{*}\right),x\right\rangle =\left\langle y^{*},\varphi \left(x\right)\right\rangle .$

Sa matrice dans le couple de bases duales (C*, B*) est liée à celle de φ dans (B, C) par :

${\textrm {mat}}_{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!\varphi )={}^{\operatorname {t} }\!({\textrm {mat}}_{B,C}(\varphi )).$

Remarque

Lorsque l'anneau n'est pas commutatif, si l'on représente les vecteurs par des matrices colonne, l'algèbre linéaire n'est compatible avec le calcul matriciel que si les modules ou espaces vectoriels considérés sont à droite, comme dans les articles détaillés signalés ci-dessus, une application linéaire correspondant à la multiplication à gauche d'un vecteur colonne par la matrice qui la représente. Si l'on tient à avoir des modules ou espaces vectoriels à gauche, il faut représenter les vecteurs par des matrices ligne, une application linéaire étant cette fois représentée par la multiplication à droite d'un vecteur ligne par la matrice qui la représente.

Systèmes d'équations linéaires

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+...+a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+...+a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+...+a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}\right.$

où x₁, ..., x_n sont les inconnues et les nombres a_i,j sont les coefficients du système.

Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle :

$Ax=b$

avec :

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}};\qquad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}};$

la théorie de la résolution des systèmes utilise les invariants liés à la matrice A (appelée matrice du système), par exemple son rang, et, dans le cas où A est inversible, son déterminant (voir l'article règle de Cramer).

Structure d'espace vectoriel euclidien

L'espace vectoriel M_m,n(ℝ), canoniquement isomorphe à ℝ^mn, hérite de sa structure euclidienne. Le produit scalaire se transcrit en

$(A,B)\in M_{m,n}(\mathbb {R} )\times M_{m,n}(\mathbb {R} )\mapsto \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!A~B)=\sum _{\scriptstyle 1\leq i\leq m \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{ij}b_{ij}\in \mathbb {R} ,$

où $\operatorname {tr}$ désigne la trace (i.e., $\textstyle \operatorname {tr} \,M=\sum _{i=1}^{n}m_{ii}$) et les a_i,j (resp. b_i,j) désignent les éléments de A (resp. B). La norme associée à ce produit scalaire est la norme de Frobenius ou norme de Hilbert-Schmidt :

$\|A\|_{F}=\left(\sum _{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}a_{i,j}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\|\sigma (A)\|_{2},$

où σ(A) est le vecteur des valeurs singulières de A et $\|\cdot \|_{2}$ est la norme euclidienne.

Si m = n > 1, il ne s'agit pas d'une norme subordonnée, puisque $\|I_{n}\|_{F}={\sqrt {n}}\neq 1.$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit (comme pour tout produit scalaire) :

$\forall A,B\in \mathbb {R} ^{m\times n},\langle A,B\rangle \leqslant \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}.$

Cette inégalité peut être renforcée par l'inégalité de trace de von Neumann :

$\forall A,B\in \mathbb {R} ^{m\times n},\langle A,B\rangle \leqslant \sigma (A)^{\mathsf {T}}\sigma (B),$

où σ(A) est le vecteur des valeurs singulières de A, rangées en ordre décroissant. Elle a la même structure que l'inégalité de Ky Fan, laquelle suppose que les matrices sont carrées et symétriques (on peut alors remplacer σ(•) par le vecteur des valeurs propres).

L'espace vectoriel M_m,n(ℂ) est muni d'une structure similaire d'espace hermitien.

Voir aussi

Bibliographie

• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques, Dunod, 1980
• Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage et Mounet, Paris, 2006 (ISBN 978-2-916352-01-5)
• P. Wira, Un rappel sur les matrices, support de cours, Université de Haute Alsace, Mulhouse, 2000

Articles connexes

• Conditionnement (analyse numérique)
• Matrice creuse
• Norme matricielle
• Tenseur

Liens externes

• Frédéric Brechenmacher, Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930)
• Charlotte Mauger, « Entrez dans les matrices ! », sur Journal du CNRS, 25 mai 2024 (consulté le 12 juin 2024)