Mathématiques tropicales

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Les mathématiques tropicales, ou géométrie tropicale, sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition (algèbre min-plus)[1], mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition[2].

Les mathématiques tropicales furent dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon. La création de l'adjectif tropical est attribuée par Jean-Éric Pin[3] à Dominique Perrin, alors que Imre Simon lui-même l'attribue à Christian Choffrut [4],[5]. Le terme tropical n'a pas d'autre sens que de référer à un chercheur brésilien. Comme disent Diane Maclagan et Bernd Sturmfels dans l'introduction du chapitre 1 de leur livre : « It simply stands for the French view of Brazil »[6].

Semi-corps max-plus[modifier | modifier le code]

L'ensemble R des nombres réels, muni des opérations de maximum et d'addition, possède une structure de semi-corps commutatif.

Opérateurs mathématiques[modifier | modifier le code]

Définitions des opérateurs[modifier | modifier le code]

  • On définit l'addition tropicale par :
    .

Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi, .

  • On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical) (ou ) par :
    .

Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi, .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés des opérations tropicales comparées à celles des opérations usuelles
Dans Addition tropicale Addition Multiplication tropicale

(mêmes propriétés que l'addition usuelle)

Multiplication
Commutativité Oui


car

Exemple : et

Oui

a + b = b + a

Exemple : 2 + 3 = 5 et 3 + 2 = 5

Oui


car a + b = b + a

Exemple : et

Oui

a x b = b x a

Exemple : 2 x 3 = 6 et 3 x 2 = 6

Associativité Oui

Exemple :

Oui

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Exemple:
(2 + 5) + 6 = 13
2 + (5 + 6) = 13
2 + 5 + 6 = 13

Oui

Exemple :

Oui

(a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c

Exemple:
(2 x 5) x 6 = 60
2 x (5 x 6) = 60
2 x 5 x 6 = 60

Élément neutre Pas d'élément neutre dans

Pour disposer d'un élément neutre, on travaille dans .
L'élément neutre est alors .

En effet, .

0

En effet, a + 0 = a

0

En effet,

1

En effet, a x 1 = a

Élément symétrique de a Pas d'élément symétrique. -a

En effet, a + (-a) = 0.

-a

En effet, .

En effet, .

Élément absorbant Pas d'élément absorbant dans

Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans .
L'élément absorbant est alors .

En effet, .

Pas d'élément absorbant. Pas d'élément absorbant. 0

En effet, .

Distributivité est distributive par rapport à . En effet, et est distributive par rapport à +. En effet
Dans Addition tropicale Addition Multiplication tropicale

(mêmes propriétés que l'addition usuelle)

Multiplication

Il manque à la structure l'élément neutre pour la première loi et l'existence d'élément symétrique pour la première loi pour que celle-ci soit un corps. On parle alors du semi-corps .

Opérateur découlant des précédents[modifier | modifier le code]

La puissance tropicale, que l'on notera , avec a un réel et b un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle.

En effet,

.

Semi-corps min-plus[modifier | modifier le code]

On peut définir une autre structure de semi-corps en prenant pour première loi le minimum au lieu du maximum.

Application au calcul des distances dans un graphe pour la structure min-plus[modifier | modifier le code]

Si on ajoute à R l'élément et qu'on munit l'ensemble de la structure min-plus, on peut utiliser la structure ainsi définie pour le calcul de plus courte distance dans un graphe.

On peut représenter un graphe pondéré à n sommets comme une matrice des distances entre chaque sommet: si le sommet i est lié avec le sommet j alors l'élément est égal au poids de l'arête (i,j), si les sommets i et j ne sont pas reliées alors correspond à l'infini (on a ).

Ainsi la distance entre i et j en passant par au plus un sommet est :

Ceci correspond au produit matriciel dans la structure min-plus. Ainsi pour calculer la longueur d'un plus court chemin d'un sommet à un autre, en au plus n étapes, dans le graphe, il suffit de calculer la puissance n de A pour cette structure.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Définition des mathématiques tropicales par leur inventeur Imre Simon, en ligne sur Scientific Commons
  2. Introduction à la géométrie tropicale, Ilia Itenberg, p. 2, Disponible en ligne.
  3. Jean-Éric Pin, « Tropical Semirings », dans J. Gunawardena, Idempotency (Bristol, 1994), Cambridge, Cambridge University Press, 1998,, p. 50-69.
  4. Imre Simon, « Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring », dans Mathematical Foundations of Computer Science (Carlsbad, 1988), Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 324), (lire en ligne).
  5. Mathoverflow, 2011, What's tropical about tropical algebra? sur Mathoverflow
  6. Maclagan et Sturmfels 2015, Chapitre 1.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Ilia Itenberg, « Droites tropicales », Images des mathématiques, CNRS,‎ (lire en ligne)
  • Diane Maclagan et Bernd Sturmfels, Introduction to Tropical Geometry, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 161), , 363 p. (ISBN 9780821851982, lire en ligne).
  • Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin et Eugenii Shustin, Tropical algebraic geometry, Bâle, Birkhäuser, coll. « Oberwolfach Seminars » (no 35), (ISBN 9783034600477, OCLC 310400815).
  • Dima Grigoriev, « Tropical differential equations », Advances in Applied Mathematics, vol. 82,‎ , p. 120–128 (DOI 10.1016/j.aam.2016.08.002, arXiv 1502.08010.pdf)

Articles connexes[modifier | modifier le code]