Méthode de Ferrari

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La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

Principe de la méthode[modifier | modifier le code]

On ramène d'abord[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

.

Le point central de la méthode[2],[3] consiste à remplacer ensuite le monôme z4 par le polynôme (z2 + λ)2 – 2λz2 – λ2, paramétré par λ, et à trouver une valeur de λ convenable, qui permette d'écrire z4 + pz2 + qz + r comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs[4],[5] préfèrent commencer par une complétion du carré, z4 + pz2 = (z2 + p/2)2p2/4, ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (u = λ – p/2[6]), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange (y = 2λ – p).

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Le terme (2λ – p)z2qz + λ2r, vu comme polynôme en z, s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, q2 – 4(2λ – p)(λ2r), est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante (en) :

,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution λ0, puis a0, b0 (éventuellement complexes) tels que :

,

l'équation initiale devient :

ou encore :

,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout.


Presque tous les auteurs excluent implicitement[7] le cas où 0p est nul (qui conduirait à une division par a0 = 0 dans la définition ci-dessus de b0). Mais dans ce cas, q = 0 donc l'équation z4 + pz2 + qz + r = 0 est simplement une équation bicarrée[8].


Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

Notes références[modifier | modifier le code]

  1. Cette étape préalable ne simplifiant pas la suite, certains auteurs s'en dispensent : voir Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, , 2e éd. (1re éd. 1849) (lire en ligne), p. 233-237, (en) John Hymers (en), A Treatise on the Theory of Algebraical Equations, Deighton, Bell, , 3e éd. (lire en ligne), p. 106-107, ou la fin du chapitre « Méthode de Ferrari » sur Wikiversité (lien ci-dessous).
  2. Daniel Perrin, « Une vision géométrique de la méthode de Ferrari […] », sur Département de mathématiques d'Orsay.
  3. (en) Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations, World Scientific, (lire en ligne), p. 24.
  4. Tignol 2001, p. 22-23.
  5. (en) A. G. Kurosh (en) (trad. du russe), Higher Algebra, Mir, (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 231.
  6. Tignol 2001, p. 24.
  7. À l'exception, au moins, de Tignol 2001, p. 24.
  8. Pour plus de détails sur le cas q = 0, voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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