Méthode de Descartes

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La méthode de Descartes dite par coefficients indéterminés permet de résoudre les équations du second, mais surtout du quatrième degré.

René Descartes utilise pour ceci la factorisation des polynômes de degré n sous la forme avec les n racines réelles ou complexes (voir Théorème de d'Alembert-Gauss) qu'il est alors l'un des premiers mathématiciens à maîtriser.

Équation du second degré[modifier | modifier le code]

Pour résoudre

,

on part des deux relations entre coefficients et racines :

 ;
.

La première relation équivaut à

,

p est un paramètre déterminé par la seconde relation.

Cette astuce est très courante : lorsqu'on connaît la somme C de deux nombres A et B, on peut toujours écrire A comme la somme de la moitié de C et d'une certaine quantité p ; B, pour maintenir l'égalité A + B = C, vaudra forcément la moitié de C moins p.

On arrive alors à

,

et l'on en déduit ±p, puis les deux racines.

Équation de degré 4[modifier | modifier le code]

Dans son ouvrage La Géométrie (1637), Descartes applique cette méthode pour résoudre les équations du quatrième degré :

On ramène d'abord[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

.

On supposera que cette équation n'est pas bicarrée, c'est-à-dire que q ≠ 0.

Le but étant de n'avoir plus qu'à résoudre deux équations du second degré pour trouver les quatre racines, on cherche ensuite à décomposer le polynôme en un produit de deux polynômes unitaires du second degré, dont il va falloir déterminer les coefficients. On pose donc a priori

,

ce qui équivaut, en développant et en identifiant les coefficients, à :

ou encore à

donc à

La quatrième équation se réécrit :

,

ou encore :

On trouve une solution A0 de la dernière équation — dite cubique résolvante (en) — par l'une des méthodes standard, puis on choisit pour a l'une des deux racines carrées de A0, et l'on en déduit a', c et b par les équations précédentes.

Les deux équations obtenues :

,

sont identiques à celles de Ferrari (1540) :

,

car le changement de paramètre transforme la cubique résolvante de Descartes en celle de Ferrari, .

La résolvante de Descartes, et l'expression des quatre solutions en fonction d'une racine de cette résolvante, sont identiques à celles de la méthode de Lagrange (1770).


Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Pour une généralisation de la méthode sans cette étape préalable, voir Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, , 2e éd. (1re éd. 1849) (lire en ligne), p. 242 ou la fin du chapitre de Wikiversité (lien ci-dessous).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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