Longue droite

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La longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ».

Définition[modifier | modifier le code]

En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, L, est le produit lexicographique du premier ordinal non dénombrable ω₁ par l'ensemble des réels positifs ou nuls.

En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble (totalement) ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable. Mieux, on peut la munir d'une structure de variété différentiable lisse (i.e. de classe ), et même analytique réelle (ω).

Des variantes de la définition consistent à retirer l'origine, ou à prolonger la droite indéfiniment vers la gauche de la même façon que vers la droite. Le terme de « longue droite » peut, selon les auteurs, désigner un quelconque de ces trois espaces. Nous adoptons ici la convention qu'il y a un bord à gauche.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) David Gauld, Non-metrisable Manifolds, Springer, (lire en ligne), p. 8.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Counterexamples in Topology