Loi de refroidissement de Newton

Graphe de refroidissement ($T_{R}=T_{\text{env}}$).

Dans l'étude du transfert thermique, la loi de refroidissement de Newton est une loi physique formulée par Isaac Newton qui énonce que le taux de perte de chaleur d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et son environnement.

Cette formulation suppose :

• un corps homogène à température interne uniforme ;
• un milieu environnant à température constante ;
• un mécanisme de transfert thermique inchangé ;
• une faible différence de température.

Elle revient à considérer que le coefficient de transfert thermique est constant.

L’avantage principal de cette formulation est son indépendance vis-à-vis des unités : l'utilisation de kelvins, de degrés Celsius ou de degrés Fahrenheit n’implique aucune modification de la constante $r$, qui dépend uniquement des unités de temps.

Par exemple, des modèles simplifiés en météorologie peuvent utiliser cette approximation plutôt qu’une équation de rayonnement plus complexe.

Contexte historique

Isaac Newton publia anonymement en 1701 son travail sur le refroidissement sous le titre « Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa. » dans les Philosophical Transactions. Il s'agissait de la première formulation du transfert de chaleur et elle constitue la base formelle du transfert de chaleur convectif.

Newton n'énonça pas initialement sa loi sous cette forme en 1701. En termes modernes, Newton observa, après quelques manipulations mathématiques, que le taux de variation de la température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et son environnement. Cette version simplifiée de la loi, telle que présentée par Newton lui-même, résulte en partie d'une confusion de l'époque entre les concepts de chaleur et de température, qui ne seraient complètement distingués que bien plus tard.

En 2020, Maruyama et Moriya ont reproduit les expériences de Newton avec du matériel moderne et ont appliqué des techniques contemporaines de réduction des données. En particulier, ces chercheurs ont pris en compte le rayonnement thermique à haute température (comme pour les métaux fondus utilisés par Newton) et les effets de flottabilité sur le flux d'air. En comparaison avec les données originales de Newton, ils ont conclu que ses mesures (de 1692 à 1693) étaient « assez précises ».

Relation avec les mécanismes de transfert thermique

En conduction thermique, la loi découle généralement de la loi de Fourier. La conductivité thermique dépend faiblement de la température pour de nombreux matériaux, ce qui justifie l’approximation d’un coefficient constant.

En convection thermique :

• elle est bien vérifiée en convection forcée (air soufflé ou fluide pompé) ;
• elle n’est qu’approximativement valable en convection naturelle, la vitesse d’écoulement dépendant de la différence de température.

Un cas ne vérifiant pas cette loi est le rayonnement thermique, qui obéit à la loi de Stefan–Boltzmann, où le flux dépend de la quatrième puissance des températures absolues.

En 1817, Pierre Louis Dulong et Alexis Thérèse Petit ont proposé une correction empirique pour de grandes différences de température.

Formulation mathématique

On peut dériver cette loi à partir d'une décroissance exponentielle. Si $T$ désigne la température du corps, elle vérifie l'équation différentielle :

${\frac {\mathrm {d} T(t)}{\mathrm {d} t}}=-r\left(T-T_{\text{env}}\right)$

où $r$ est une constante positive dépendant des propriétés du système.

La solution est :

$T(t)=T_{\text{env}}+\left(T(0)-T_{\text{env}}\right)\exp(-rt)$

La différence de température décroît donc exponentiellement avec le temps.

Formulation locale :

$$q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),$$

où :

• $q$ est le flux thermique (W/m²),
• $h$ est le coefficient de transfert thermique (W·m⁻²·K⁻¹),
• $T$ est la température de surface (K),
• $T_{\text{env}}$ est la température du milieu (K),
• $\Delta T(t)$ est la différence de température.

Formulation globale :$${\dot {Q}}=\oint _{A}h(T-T_{\text{env}})\,dA$$

Si $h$ et $\Delta T$ sont uniformes :$${\dot {Q}}=hA(T-T_{\text{env}})$$

Nombre de Biot et modèle à capacité concentrée

Le nombre de Biot est défini par :

$$\mathrm {Bi} ={\frac {hL_{C}}{k_{b}}}$$

Lorsque $\mathrm {Bi} <0{,}1$, les gradients internes sont négligeables et le système peut être traité comme thermiquement mince.

Dans ce cas (modèle à capacité concentrée) :

$${\frac {dT}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T-T_{\text{env}})$$

avec :

$$\tau ={\frac {C}{hA}}={\frac {mc}{hA}}$$

La solution est :

$$T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-t/\tau }$$

En posant $r=1/\tau$ :

$${\dot {T}}=r(T_{\text{env}}-T)$$

Voir aussi

• Heat pipe
• Lois de Fick

Références

Voir aussi :

• Dehghani, F 2007, CHNG2801 – Conservation and Transport Processes: Course Notes, University of Sydney, Sydney

Liens externes

• Heat conduction – Thermal-FluidsPedia
• Newton's Law of Cooling by Jeff Bryant based on a program by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
• A Heat Transfer Textbook, 5/e, free ebook.