Loi de Titius-Bode

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La loi de Titius-Bode ou Rang des planètes, souvent appelée « loi de Bode », est une relation empirique entre les rayons des orbites des planètes du Système solaire, qui utilise une suite arithmético-géométrique de raison 2.

Elle a été énoncée en 1766 par Johann Daniel Titius, qui avait trouvé une relation numérique dans les termes de la suite des distances des planètes, citées en 1724 par le philosophe Christian Wolff. Celui-ci n'avait fait d’ailleurs que recopier la suite des nombres 4, 7, 10, 15, 52, 95, mentionnée en 1702 par le mathématicien écossais David Gregory, qui représentait les distances des planètes en 1/10 du rayon de l’orbite terrestre. Mais c’est à Johann Elert Bode qu’est longtemps revenue la paternité de cette « loi », qu'il avait publiée en 1772 dans son Anleitung zur Kenntniß des gestirnten Himmels (Instruction pour la connaissance du ciel étoilé).

Corroborée en 1781 par la découverte d'Uranus, la loi de Bode est mise en échec en 1846 par celle de Neptune, et ne donne plus de résultats probants au-delà.

Loi de Titius-Bode. Son origine paradoxale et cours ultérieure[1][modifier | modifier le code]

Johann Daniel Titius (1729-1796), professeur de physique à l'ancienne université de Wittenberg (Saxe) traduit à l'allemand le travail Contemplation de la nature, de l'auteur suisse Charles Bonnet (1720-1793).

Sans rien dire à personne, entrelaça deux paragraphes propres que se trouvent en bas de la page 7 et au début de la 8 dans l'édition allemande de 1766. Dans la préface, Bonnet avertit sans préciser que Titius a entremêlé quelques notes propres, ce qui suggère non seulement leurs connaissances, mais aussi sa conformité. Bien sûr, le paragraphe inséré on ne trouve pas dans l'original ni dans les traductions du travail de Bonnet a l'italien et à l'anglais.

Dans le texte intercalé dont nous nous referons il ya deux parties, l'une après l'autre. Dans la première on expose la succession des diverses distances planétaires au Soleil des planètes historiques, dès Mercure à Saturne, arrondi au nombre entier, exposé comme suit: Si nous donnons 100 points à Saturne et 4 à Mercure, Vénus correspondra 4 + 3 = 7 points; à la Terre 4 + 6 = 10; à Mars, 4 + 12 = 16; au prochaine ce serait 4 + 24 = 28, mais il n'y a pas de planète; et ce sera 4 + 48 = 52 points et 4 + 96 = 100 points respectivement pour Jupiter d'abord et Saturne le second.

Dans la seconde partie entrelacée on ajoute: Si on donne le valeur 10 au rayon de l'orbite de la Terre, les rayons des autres orbites seront données par la formule Rn = 4 + (3 * 2n), où n = -∞ pour Mercure et 0, 1, 2, 3, 4 et 5 pour les planètes qui suivent.

Ces deux déclarations, pour toute leur typologie particulière et celle des rayons des orbites, semblent provenir d'un antique cossiste[2]. En fait, de nombreux précédents ont été trouvé jusqu'à dix-septième siècle. Titius était disciple du philosophe allemand Christian Freiherr von Wolf (1679-1754), et la deuxième partie du texte inséré dans le travail de Bonnet on trouve aussi littéralement dans un travail de von Wolf en 1723, Vernünftige den Gedanken von den Wirkungen. Par conséquent, dans la bibliographie du XXe siècle sur la Loi de Titius-Bode, est habituellement attribué au philosophe allemand; si tel était le cas, Titius aurait pu l'apprendre de lui. Une autre référence encore plus ancienne est celle de James Gregory de 1702, dans son Astronomiae physicae et geometricae elementa, où la succession des distances planétaires 4, 7, 10, 16, 52 et 100 devient une progression géométrique de raison 2. C'est la formule newtonienne la plus prochaine, qu'on peut trouver aussi en Benjamin Martin et même en Tomàs Cerdá nombreuses années avant la publication allemande du livre de Bonnet.

Le texte intercalé par Titius dans le livre de Bonnet avait réellement diffusé avec exactitude dans le travail d'astronomie de Johann Elert Bode (1747-1826). Dans aucune de se éditions on parle de Titius, sans clairement s'attribuer soi même la paternité de la loi (Aleitung zur Kenntnis des gestirnten Himmels, 1722). Dans un mémoire posthume de Bode on peut trouver une à Titius avec la reconnaissance claire de leur priorité.

Titius et Bode aspiraient que le projet de la loi conduirait à la découverte de nouvelles planètes. Mais en fait, il n'à pas été comme ça. L'Uranus et Ceres avait plutôt contribué à la renommée de la Loi de Titius-Bode, mais pas à la découverte de Neptune et Pluton, lesquels restent exclus. Cependant, on applique aux satellites et même maintenant aux planètes extrasolaires.

La loi de Titius-Bode reste sans une explication théorique solide et convaincante de leur signification physique, ni considéré comme un artefact numérique. Son histoire a toujours été liée à plus de bruit que grand-chose. Comment peut-elle être comparé au travail d'Hipparque par rapport aux distances planétaires, à celle de Kepler concernant l'orbite de Mars, à la découverte de Neptune, au calcul d'un événement, d'une orbite à partir seulement de trois positions, ou à l'explication de l'écart du périhélie de Mercure? Toutefois, elle est souvent la plus citée.

Une explication que pourrait être précédant de la Loi de Titius-Bode[modifier | modifier le code]

Le jésuite Tomàs Cerdà (1715-1791) a donné un célèbre cours d'astronomie à Barcelone en 1760, à la Chaire Royale de Mathématiques du Collège de Sant Jaume de Cordellas (Séminaire Impérial et Royal des Nobles de Cordellas). Du manuscrit original conservé à l'Académie Royale de l'Histoire de Madrid, Lluís Gasiot refait le Tratado de Astronomía de Cerdá, publié en 1999, lequel est basé sur la Astronomiae physicae de  James Gregory (1702) et sur la Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747).

Dans le Traité de Cerdá on peut trouver les distances planétaires obtenues à partir des temps périodiques et de l'application de la troisième loi de Kepler, avec une précision de 10-3. En prenant de référence la distance de la Terre comme 10 et en arrondissant à entiers, on peut établir la progression géométrique [(Dn x 10) - 4] / [Dn-1 x 10) - 4] = 2, dès n = 2 à n = 8 . En utilisant le mouvement circulaire uniforme fictif équivalent de l'Anomalie de Kepler, on peut obtenir les valeurs Rn des radios correspondant à chaque planète, avec lesquels on peut obtenir les raisons rn = (Rn - R1) / (Rn-1 - R1) résultant comme 1,82; 1,84; 1,86; 1,88 et 1,90, alors rn = 2 à 0,02 (12 - n) ce qui est le rapport entre la succession de Kepler et la Loi de Titus-Bode, ce qui serait une coïncidence numérique occasionnelle. La raison est proche à 2, mais en réalité augmente harmoniquement depuis 1,82.

La vitesse moyenne des planètes dès n=1 à n=8 diminue lorsque on éloigne du Soleil et diffère du déclin uniforme à n=2 pour le récupérer quand on arrive à n=7 (résonance orbitale).

Distances relatives entre les planètes du Système solaire (les tailles des planètes ne sont pas à l'échelle).

Expression mathématique[modifier | modifier le code]

L'expression d'origine était faite en exprimant les distances en dixièmes de la distance Terre-Soleil (l'unité astronomique, UA). Les distances supposées sont :

En termes plus mathématiques, la formule à utiliser pour trouver la distance de la planète au Soleil est :

r = 0,4 + 0,3\times 2^{n-1}
r est exprimé en UA
n est le "rang" de la planète

Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.

n vaut -∞ (moins l'infini) pour Mercure, 1 pour Vénus, 2 pour la Terre, 3 pour Mars, 4 pour la ceinture d'astéroïdes, etc.

On peut jouer sur des variantes d'écriture, par exemple écrire r = 0,4 + 0,15\times 2^{n}.

Faiblesses intrinsèques[modifier | modifier le code]

La première faiblesse de cette loi est l'utilisation de -∞ comme rang pour Mercure, qui brise le caractère arithmético-géométrique de la suite. La seule raison de ce -∞ est de faire mieux correspondre la loi à la réalité[3].

La seconde faiblesse est que, quand la loi fut formulée, le rang 4 semblait inoccupé ; la découverte de la ceinture d'astéroïdes sembla conforter la loi, mais on peut critiquer le fait d'intégrer à cette loi la ceinture alors que tous les astéroïdes réunis n'ont pas la masse d'une planète. Si l'on cherche à donner une explication, il faut alors aussi expliquer pourquoi cette ceinture prend la place d'une planète.

Enfin, il n'a jamais été précisé ce que signifie « rayon » ou « distance » dans l'énoncé de la loi. En effet, pour que ces notions soient clairement définies, il faudrait que les orbites soient parfaitement circulaires. C'est loin d'être le cas des planètes à proprement parler (Mercure en particulier, dont la distance au Soleil varie d'un facteur 1,5) et certains objets qu'on tenta d'ajouter à la progression l'étaient encore moins. Généralement, on retient le demi-grand axe comme distance.

Planète Loi de Titius-Bode Valeurs réelles Erreur
Rang attribué Distance prédite Demi-grand axe Périphélie Aphélie Excentricité absolue relative
Mercure -∞ 0,4 0,387 0,307 0,467 0,206 0,013 3,4 %
Vénus 1 0,7 0,723 0,718 0,728 0,007 0,023 3,2 %
Terre 2 1,0 1,000 0,983 1,017 0,017 0,000 0,0 %
Mars 3 1,6 1,523 1,381 1,665 0,093 0,077 5,1 %
Cérès 4 2,8 2,765 2,547 2,983 0,079 0,035 1,3 %
Jupiter 5 5,2 5,203 4,953 5,453 0,048 0,003 0,1 %
Saturne 6 10,0 9,537 9,022 10,052 0,054 0,463 4,9 %
Uranus 7 19,6 19,229 18,325 20,133 0,047 0,371 1,9 %
Neptune 8 38,8 30,069 29,798 30,340 0,009 8,731 29,0 %

Découvertes ultérieures[modifier | modifier le code]

Lors de sa publication originelle, la loi était vérifiée par toutes les planètes connues, de Mercure à Saturne, avec une lacune entre les quatrième (n = 3) et cinquième (n = 5) planètes. Cette loi était alors considérée comme intéressante mais sans grande importance. La découverte d'Uranus, dont l'orbite respecte la loi, la validera aux yeux d'une grande partie de la communauté scientifique.

Mettant à profit cette nouvelle crédibilité, Bode poussera à la recherche de la planète intermédiaire manquante (n = 4), ce qui conduira à la découverte de (1) Cérès, astéroïde reclassé en 2006 en planète naine.

Urbain Le Verrier et John Couch Adams utiliseront ensuite cette loi comme première hypothèse pour la distance de la planète hypothétique Neptune, imaginée pour expliquer les perturbations d'Uranus.

Cette valeur de 38,8 est assez mauvaise et correspond plutôt à l'orbite de Pluton (qui est également considérée comme une planète naine depuis 2006, et non plus comme une planète).

Au-delà de Neptune[modifier | modifier le code]

Objet Demi-grand axe Périhélie Aphélie Excentricité
Pluton 39,48 29,65 49,31 0,25
Sedna 525,86 76,25 975,47 0,86
Éris 67,67 37,83 97,51 0,44

Les objets supplémentaires découverts après Pluton firent l'objet de tentatives d'intégration dans Titius-Bode. Certains partisans de la loi de Titius-Bode s'enthousiasmèrent en soulignant qu'avec une distance de 76,1, Sedna était exactement là où la loi imposait d'être à la dixième planète[4]. L'inconvénient est que cette distance est en fait le périhélie, alors que le demi-grand axe de Sedna vaut 505,7. Jusqu’ici, c'était plutôt le demi-grand axe qui servait de référence, et jamais un objet dont la distance au Soleil variait autant n'avait été inclus.

Hypothèses sur le passé du Système solaire[modifier | modifier le code]

La loi de Titius-Bode a une exception claire  : Neptune/Pluton, et un résultat ambigu  : la ceinture d'astéroïde.

Les partisans de la loi de Titus-Bode proposèrent de considérer que la loi avait été vraie par le passé, et qu'une perturbation a modifié l'agencement des planètes. On proposa donc que la ceinture d'astéroïde soit en fait les débris d'une ancienne planète (Phaéton).

De même, pour résoudre le problème posé par Neptune et Pluton, on proposa que Neptune ait anciennement été à la place où se trouve actuellement Pluton, Pluton étant à l'époque sa lune[5]. Différentes hypothèses pouvaient expliquer ce mouvement, par exemple l'action de l'hypothétique étoile Némésis.

Finalement, ces propositions ne tiennent pas. La ceinture d'astéroïde tout entière ne comprend pas assez de matière pour former une planète. Quant à Neptune, les travaux d'analyse sur le passé du Système solaire ont montré qu'elle se trouvait autrefois non pas plus loin du Soleil, mais beaucoup plus près, plus proche même qu'Uranus, qui elle-même était plus proche que sa position actuelle[6].

Il apparaît donc que la loi de Titius-Bode n'est pas un bon instrument pour étudier le passé de notre système. De plus, la principale piste d'explication de cette loi est de montrer qu'elle génère un système stable. Il n'est donc pas cohérent de supposer qu'elle ait été plus respectée par le passé que maintenant.

Concernant l'avenir du Système solaire, il est impossible de prédire les évolutions futures des positions des planètes, le système étant chaotique.

Corps célestes supplémentaires[modifier | modifier le code]

Il a toujours été tentant de chercher à extrapoler les positions de planètes hypothétiques à partir de la loi de Titius-Bode. D'une certaine manière, la loi avait prédit la distance de Pluton, mais l'existence de Neptune semble être une anomalie à cette loi.

La découverte d'objets transneptuniens importants pose tout de même problème à cette loi. D'abord, parce qu'il est difficile de choisir quels objets classer. D'ailleurs, Pluton ayant été rayée de la liste des planètes suite à l'écriture d'une définition précise d'une planète, la loi perd sa valeur prédictive. Ensuite, contrairement aux huit planètes, les nouveaux objets découverts suivent une orbite elliptique très différente d'un cercle. Il devient impossible de parler de « distance », et on trouve des résultats correspondant plus ou moins à la loi de Titius-Bode selon qu'on retienne le grand axe ou le périhélie.

Le déclassement de Pluton n'a pas découragé tous les extrapolateurs, certains continuant à mentionner l'existence possible d'une planète majeure à la distance « suivante » selon la loi de Titius-Bode[7]. La majorité des astronomes estiment qu'un objet méritant le nom de planète suivant la nouvelle définition aurait déjà été repéré.

Statut actuel[modifier | modifier le code]

De nos jours, les astronomes regardent la loi de Titius-Bode comme une curiosité, sans être un mystère majeur de la physique. Il y a débat entre ceux qui pensent que le nombre trop faible d'objets impliqués et la forme arbitraire de la loi permettent de conclure à une simple coïncidence, et ceux qui pensent qu'il reste une explication à chercher. En effet, le fait que la loi cesse d'être vraie à une certaine distance ne veut pas forcément dire qu'il n'y a pas d'explication à chercher — il faut simplement rendre compte de cette limite.

Les dernières théories expliquent la formation des planètes comme la conséquence de mécanismes de résonance[8] qui créeraient des zones orbitales stables lors de la création des systèmes solaires. Or l'existence de ces configurations stables implique une diminution des axes de liberté du système planétaire. Il est donc alors probable de trouver une loi liant les périhélies. Une loi comme celle de Titius-Bode pour notre système planétaire, mais qui ne s'appliquerait peut être pas dans les autres.

En l'absence d'explication théorique incontestée, le débat demeure. Si le phénomène peut être inexpliqué sans que cela contredise les lois de la physique, c'est parce que le problème à N corps n'a pas de solution analytique exacte. Donc, même si on connaît les lois qui gouvernent les mouvements des planètes, on ne peut pas prédire pour autant avec certitude l'agencement qu'elles doivent adopter.

C'est pour cela que New Scientist ne considère pas cette loi comme un mystère majeur du Système solaire. En comparaison, le fait que la Lune et le Soleil ont le même diamètre apparent depuis la Terre a été classé comme tel[9].

Autres lois[modifier | modifier le code]

Le Mysterium Cosmographicum de Kepler

Dès 1596, dans le Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler construit un modèle géométrique des rayons relatifs des orbites planétaires. Chacun des cinq solides de Platon s'intercale entre deux des six planètes connues à l’époque (de Mercure à Saturne); chaque orbite est circonscrite au polyèdre intérieur et est inscrite dans le polyèdre extérieur[10].

Otto Schmidt a proposé d'appliquer une fonction pour les planètes telluriques et une autre pour les planètes gazeuses.

La loi de Dermott traite, quant à elle, des satellites de Jupiter et a été adaptée pour ceux de Saturne, Uranus et Neptune. Des lois similaires, de type puissance ou exponentielle, ont également été proposées pour certains systèmes planétaires extrasolaires.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dr. Ramon Parés. Distancias planetarias y Ley de Titius-Bode. Ensayo histórico (www.ramonpares.com)
  2. Les cossistes étaient des experts dans tout type de calcul, et les commerçants et les entrepreneurs leur engageaient pour résoudre les problèmes comptables complexes. Son surnom vient du mot italien « chose » parce qu'ils ont utilisé des symboles pour représenter des valeurs inconnues, semblables à l'usage que les mathématiciens on fait aujourd'hui avec la x. Tous les professionnels qui résolvaient des problèmes dans ce temps ont eu leurs propres et astucieux procédures pour effectuer des calculs, et avaient fait tous les efforts pour maintenir ces méthodes en secret et garder la réputation comme  les seules personnes capables de résoudre certains problèmes.
  3. Texte en accès libre sur arXiv : astro-ph/0407495. Dynamical derivation of Bode's law
  4. http://www.world-mysteries.com/sci_8.htm
  5. http://books.google.com/books?id=WwKjznJ9Kq0C&pg=PA193&lpg=PA193&dq=Titus+Bode+%22history+of+the+Solar+system%22+Neptune&source=bl&ots=1nvUuOFtKn&sig=rmiqlvZ2xig8YILUDofHkOG8F78&hl=fr&ei=oqiaSt2HDuOfjAf-9sSyBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#v=onepage&q=Titus%20Bode%20%22history%20of%20the%20Solar%20system%22%20Neptune&f=false Theo Koupelis, Karl F. Kuhn, In Quest of the Universe, p. 193
  6. David L Chandler, The solar system, but not as we know it, New Scientist no 2579, 28 novembre 2006
  7. « An Unknown Planet Orbits in the Outer Solar System », repris dans Nexus de mars-avril 2008 : « Muriel, prévue par la loi Titus-Bode ».
  8. Jean-Marie Souriau (2007). Grammaire de la nature. [1]
  9. New Scientist Cosmic numerology
  10. Jean Kepler (trad. et notes Alain Segonds), Le secret du monde, Gallimard, coll. «tel», 1993 (ISBN 2-07-073449-8), chapitre II (p. 70).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]