Loi de Laplace (thermodynamique)

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En thermodynamique, lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait, par exemple lors d'une transformation adiabatique et réversible[1], la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

Énoncé mathématique[modifier | modifier le code]

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

avec :

  • la pression du gaz ;
  • le volume occupé par le gaz ;
  • la température du gaz ;
  • le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant, ou, en termes de capacités thermiques molaires :  ;
  • , et trois constantes ; elles ne dépendent que du gaz parfait étudié et des conditions initiales de la transformation.

Limitations

Les relations de Laplace ne sont valables :

Démonstration de la loi de Laplace[modifier | modifier le code]

Le premier principe de la thermodynamique induit que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

Le travail mécanique est le produit de la variation de volume par la pression extérieure exercée pour ce changement de volume : .

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur : , d'où :

Considérons maintenant l'enthalpie du système () et sa variation :

Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, les variations, à quantité de matière fixe, de l'énergie interne et de l'enthalpie du système ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. Il s'ensuit que :

et sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et est la température. L'unité de et est le joule par kelvin, J/K. Nous en déduisons deux relations :

d'où également :

Soit le coefficient de Laplace :

Coefficient de Laplace :

que l'on peut également définir à partir les capacités thermiques molaires et si la transformation concerne moles de gaz parfaits :

On réécrit la relation établie plus haut :

Intégrons cette relation entre deux états et , pour la quantité de gaz fixe, avec :

Pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires et ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. On considèrera ici que lors de la transformation est constant, malgré le changement de température. On obtient :

et donc :

(1)

Si l'on substitue dans (1) :

on obtient :

(2)

Si l'on substitue également dans (1) :

on obtient :

(3)

Application numérique

Avec l'équation (3) :
Pour un gaz parfait monoatomique, , on obtient :
Pour un gaz parfait diatomique, , on obtient :

En toute rigueur[modifier | modifier le code]

En toute rigueur, les capacités thermiques molaires et , et par conséquent , dépendent de la température. La loi de Laplace n'est donc pas exacte. Considérons un gaz parfait subissant une transformation isentropique, soit . Si l'on connait les conditions initiales de la transformation (quantité de gaz et au moins deux des trois conditions dans ), il suffit de connaitre une condition de l'état final (pression ou température ou volume) pour en déduire toutes les autres :

  • connaissant la pression finale de la transformation isentropique P, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale T selon :

Réciproquement, connaissant la température T finale, on peut ainsi calculer la pression P finale.

Puis l'on trouve le volume final V selon :

  • connaissant le volume final de la transformation isentropique V, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale T selon :

Réciproquement, connaissant la température T finale, on peut ainsi calculer le volume V final.

Puis l'on trouve la pression finale P selon :

Application en météorologie et en vol à voile[modifier | modifier le code]

L'air est constitué principalement d'azote et de dioxygène . Ces gaz sont diatomiques. Dans ces conditions, on a [2].

On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques massique à partir des tables NIST[3], on obtient à 1000 hectopascals et T = 290 K :

  • = 1,0413 kJ/(g.K) ;
  • = 0,74303 kJ/(g.K).

et donc = 1,40142 .

La loi de Laplace s'applique donc particulièrement bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9,78 K/km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En toute rigueur il n'existe pas d'équivalence directe entre la propriété d'isentropie et celle d'adiabaticité-réversibilité. Si l'application du second principe de la thermodynamique donne de manière évidente l'implication suivante : une réaction adiabatique et réversible est isentropique, il ne permet pas de retourner cette implication. En effet, si l'entropie d'un système est constante, on peut seulement conclure que le terme de création est égal à l'opposé du terme d'échange. En revanche si l'on rajoute à l'hypothèse d'isentropie celle de l'adiabaticité (ou de la réversibilité), alors on établit l'implication suivante : une réaction isentropique et adiabatique (respectivement réversible) est réversible (respectivement adiabatique).
  2. (en) Les processus adiabatiques
  3. « Propriétés thermophysiques des systèmes fluides »