Loi d'extremum généralisée

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En probabilité et statistique, la loi d'extremum généralisée (en anglais : generalized extreme value ou GEV) est une famille de distributions de probabilité continues qui servent à représenter des phénomènes de valeurs extrêmes (minimum ou maximum). Elle comprend la loi de Gumbel, la loi de Fréchet et la loi de Weibull, respectivement lois d'extremum de type I, II et III. Le théorème de Fisher–Tippett–Gnedenko établit que la GEV est la distribution- limite du maximum (adéquatement normalisé) d'une série de variables aléatoires indépendantes de même distribution (i.i.d.).

La loi d'extremum généralisée est connue sous le nom de loi de Fisher–Tippett, d'après R. A. Fisher et L. H. C. Tippett qui ont étudié les trois formes fonctionnelles ci-dessous. Parfois, ce nom signifie plus particulièrement le cas de la loi de Gumbel.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition (distribution cumulée) est

F(x;\mu,\sigma,\xi) = \exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}

avec 1+\xi(x-\mu)/\sigma>0,

\mu\in\mathbb R est un paramètre de position, \sigma>0 un paramètre de dispersion et \xi\in\mathbb R un paramètre de forme. Si \xi = 0 l'expression n'est pas définie et doit s'entendre comme une limite.

La fonction de densité est

f(x;\mu,\sigma,\xi) = \frac{1}{\sigma}\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{(-1/\xi)-1} \exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}


Moments[modifier | modifier le code]

\operatorname{E}(X) = \mu-\frac{\sigma}{\xi}+\frac{\sigma}{\xi}g_1 ,
\operatorname{Var}(X) = \frac{\sigma^2}{\xi^2}(g_2-g_1^2) ,
\operatorname{Mode}(X) = \mu+\frac{\sigma}{\xi}[(1+\xi)^{-\xi}-1] .

g_k=\Gamma(1+k\xi), k=1,2,3,4

( \Gamma(t) est la fonction gamma).

La dissymétrie dépend du signe de ξ

\kappa_3 (X) = \frac{g_3-3g_1g_2+2g_1^3}{(g_2-g_1^2)^{3/2}} si ξ>0, et l'opposé si ξ<0.

La kurtosis vaut :

\kappa_4 (X) = \frac{g_4-4g_1g_3+6g_2g_1^2-3g_1^4}{(g_2-g_1^2)^{2}}-3 .

Lien avec les distributions Fréchet, Weibull et Gumbel[modifier | modifier le code]

Le paramètre \xi spécifie le comportement de la distribution dans ses queues. Les valeurs \xi= 0, \xi>0 et \xi<0 correspondent, respectivement, aux distributions Gumbel, Fréchet et Weibull.

  • Gumbel ou loi extremum type I (\xi=0)
 F(x;\mu,\sigma,0)=e^{-e^{-(x-\mu)/\sigma}}\;\;\; \text{for} \;\; x\in\mathbb R.
 F(x;\mu,\sigma,\xi)=\begin{cases} 0 & x\leq \mu \\ e^{-((x-\mu)/\sigma)^{-\alpha}} & x>\mu. \end{cases}
  • Weibull ou loi extremum type III ( \xi=-\alpha^{-1}<0)
 F(x;\mu,\sigma,\xi)=\begin{cases} e^{-(-(x-\mu)/\sigma)^{\alpha}} & x<\mu \\ 1 & x\geq \mu \end{cases}

avec \sigma>0.

Notes
  1. Les trois distributions ont des domaines de nature différente : la Gumbel est non bornée, la Fréchet est bornée inférieurement, la Weibull retournée est bornée supérieurement.
  2. La distribution décrite est celle d'un maximum. La loi d'extremum généralisée pour un minimum s'obtient en remplaçant x par (−x) dans les fonctions, et en passant de F à 1-F.
En particulier, la Weibull "ordinaire", telle qu'elle apparaît dans les études de fiabilité, s'obtient en posant la variable  t = \mu - x , pour offrir un support strictement positif x>0. Elle se voit donc "retournée" : son domaine a une borne inférieure au lieu d'une borne supérieure. Cependant, dans les applications pratiques, 0 est souvent pris comme borne inférieure.

Il y a un lien entre les types I , II et III : la type I est la distribution du logarithme d'une type II ou d'une type III (du log de l'opposé d'une type III retournée).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg et Thomas Mikosch, Modelling extremal events for insurance and finance, Berlin, Springer Verlag,‎ 1997 (lire en ligne)
  • (en) M.R. Leadbetter, G. Lindgren et H. Rootzén, Extremes and related properties of random sequences and processes, Springer-Verlag,‎ 1983 (ISBN 0-387-90731-9)
  • (en) S.I. Resnick, Extreme values, regular variation and point processes, Springer-Verlag,‎ 1987 (ISBN 0-387-96481-9)
  • (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values,, Springer-Verlag,‎ 2001 (ISBN 1-85233-459-2, lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]