Logit

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Représentation graphique de la fonction Logit

La fonction logit (prononcer loguitt) est une fonction mathématique utilisée principalement

Son expression est

\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right)  \!\,p est défini sur ]0 ; 1[

La base du logarithme utilisé est sans importance, tant que celle-ci est supérieure à 1. Il s'agit souvent du logarithme népérien (base e) mais on peut lui préférer pour mettre en évidence les ordres de grandeur décimaux le logarithme décimal (base 10 : logit(p)=-40 correspond alors à une probabilité de 10^-4, etc. On assimile en fiabilité ce résultat aux décibels[réf. nécessaire][a].

Utilisée avec le logarithme népérien, la fonction logit est la réciproque de la sigmoïde :

f(x) =  \frac{1}{1+e^{-x}}.

Elle est donc utilisée pour linéariser les fonctions logistiques.

Motivation[modifier | modifier le code]

Si p est une probabilité, cette probabilité sera toujours comprise entre 0 et 1, et donc toute tentative pour ajuster un nuage de probabilité par une droite sera invalidée par le fait que la droite n'est pas bornée. La transformation de p en p/(1-p) permet de travailler sur des valeurs variant de 0 à + ∞, puis le passage au logarithme permet de travailler sur un nuage de points dont les valeurs varient entre - ∞ et + ∞, soit la droite réelle. Sous cette forme on peut tenter un ajustement du nuage de points.

Historique[modifier | modifier le code]

Joseph Berkson a présenté la fonction et le nom logit en 1944. Il construit le premier terme par analogie et en opposition à probit, notion développée par Chester Ittner Bliss (en) et John Gaddum en 1934. Une distribution de fréquences en forme de S laisse penser, soit à une fonction de répartition d'une loi normale, soit à une courbe logistique. Jusqu'en 1944, le modèle de la loi normale était privilégié et la fonction pour en déterminer les paramètres était la fonction Probit. Pendant plusieurs années, Berkson explique à la communauté scientifique que le modèle logit possède sa place dans l'arsenal des méthodes au même titre que le modèle probit, mais sa virulence polémique d'une part et l'habitude acquise de la loi normale d'autre part freinent puissamment l'adoption du modèle. Le développement parallèle des statistiques et de la biométrie le généralisera pourtant (1960). Actuellement, il est principalement employé dans la régression logistique[1]. Alan Turing utilise indépendamment la même fonction peu après la seconde Guerre mondiale sous le nom de log-odds[2].

La fonction logit doit une partie de son succès à la moindre puissance de calcul nécessaire à son évaluation, même sans moyens informatiques[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cet usage peu rigoureux est une métaphore. On évoque les mesures où l'on compare des puissances avec un niveau de référence,\textstyle dB=10\log_{{10}}\left(\frac{W}{W_{ref}}\right) pour des probabilités, sans valeur de référence \textstyle logit=10\log_{{10}}\left(\frac{P}{1-P}\right).

  1. (en) J.S. Cramer, « The origins and development of the logit model », sur cambridge.org (université de Cambridge), p. 8sq.
  2. Stanislas Dehaene, « Introduction au raisonnement Bayésien et à ses applications »,‎ 2012.
  3. Cramer, p. 11.