Lemme du soleil levant

Le lemme du soleil levant est un lemme d'analyse réelle dû à Frigyes Riesz, utilisé dans une preuve du théorème maximal de Hardy-Littlewood. Ce lemme a été un précurseur en dimension 1 du lemme de Calderón-Zygmund. Son nom imagé vient du fait qu'il concerne les points du graphe d'une fonction, vu comme un paysage, qui sont dans l'ombre lorsque ce paysage est éclairé horizontalement par la droite.

Énoncé

Soit g : [a, b] → ℝ une application continue. Un point x de ]a, b[ est dit invisible depuis la droite s'il existe y dans ]x, b] tel que g(y) > g(x). Soient U l'ouvert des points invisibles depuis la droite et (]a_n, b_n[) la famille (au plus dénombrable) de ses composantes connexes. Alors, pour tout n,

• si a_n ≠ a, g(a_n) = g(b_n) ;
• si a_n = a, g(a_n) ≤ g(b_n).

Démonstration

Montrons d'abord que pour tout x ∈ ]a_n, b_n[, g(b_n) ≥ g(x). Considérons pour cela un point t en lequel g atteint son maximum sur [x, b]. Puisque [x, b_n[ ⊂ U, t appartient à [b_n, b] donc, comme b_n ∉ U, g(t) ≤ g(b_n). A fortiori, g(x) ≤ g(b_n).

Par continuité, on en déduit que g(a_n) ≤ g(b_n).

Si a_n ≠ a, on a même g(a_n) = g(b_n). En effet, comme a_n ∉ U, g ≤ g(a_n) sur [a_n, b], en particulier g(b_n) ≤ g(a_n).

Application aux fonctions monotones

L'une des approches possibles, pour démontrer la dérivabilité presque partout des fonctions monotones, est de montrer d'abord que pour toute fonction continue croissante f : [a, b] → ℝ, les ensembles

$E_{r,R}:=\{x\in [a,b]~|~D_{-}f(x)<r<R<D^{+}f(x)\}\quad (0<r<R),$

sont de mesure nulle, D_– et D⁺ désignant les dérivées de Dini inférieure à gauche et supérieure à droite, qui sont presque partout finies. Il en résulte alors que, presque partout, D⁺f ≤ D_–f et (en remplaçant f par x ↦ –f(–x)) D^–f ≤ D₊f, d'où la dérivabilité presque partout de f.

Cette négligeabilité des E_r,R peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant.

Démonstration

Pour tout intervalle [c, d] ⊂ [a, b], le lemme, appliqué à la fonction g définie sur [–d, –c] par g(x) = f(–x) + rx, fournit une suite d'intervalles disjoints ]a_n, b_n[ de [c, d] tels que

• g(–b_n) ≤ g(–a_n), c'est-à-dire f(b_n) – f(a_n) ≤ r(b_n – a_n) ;
• pour tout x de ]c, d[ n'appartenant à aucun de ces intervalles et tout y dans [c, x[, g(–y) ≤ g(–x) c'est-à-dire f(y) – f(x) ≤ r(y – x) < 0, d'où D_–f(x) ≥ r. Par conséquent, E_r,R ∩ ]c, d[ est inclus dans la réunion de ces intervalles.

Or d'après l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood dans le cas continu (qui se déduit elle-même du lemme du soleil levant),

$\lambda (E_{r,R}\cap ]a_{n},b_{n}[)\leq {\frac {f(b_{n})-f(a_{n})}{R}}.$

On obtient ainsi :

$\lambda (E_{r,R}\cap ]c,d[)\leq \sum {\frac {f(b_{n})-f(a_{n})}{R}}\leq {\frac {r}{R}}\sum (b_{n}-a_{n})\leq {\frac {r}{R}}(d-c).$

Il s'ensuit que E_r,R n'a aucun point de densité, c'est-à-dire qu'il est négligeable.

Notes et références

• (en) D. J. H. Garling, Inequalities: A Journey into Linear Analysis, CUP, 2007 (ISBN 978-0-521-69973-0)
• (en) A. A. Korenovskyy, A. K. Lerner et A. M. Stokolos, « On a multidimensional form of F. Riesz's “rising sun” lemma », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 133, n^o 5,‎ novembre 2004, p. 1437-1440 (lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rising sun lemma » (voir la liste des auteurs).