Lemme de Schreier

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En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient :

  • un groupe ;
  • une partie génératrice de  ;
  • un sous-groupe de  ;
  • une transversale à droite de dans , contenant l'élément neutre.

Pour tout élément g de , on note g l'élément de qui a même classe à droite :

Alors, est engendré par le sous-ensemble

Exemple[modifier | modifier le code]

Si est d'indice 2 dans , alors contient au moins un , et on peut prendre comme transversale . On peut de plus se ramener au cas où est le seul élément de qui n'appartient pas à (en remplaçant les autres par leur produit par ). On calcule alors

est donc engendré par joint aux éléments de et à leurs conjugués par .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit un élément du sous-groupe . Il s'écrit

Posons, pour  :

En particulier, , donc

.

Or , donc chacune des parenthèses de ce produit est de la forme

On conclut en remarquant que si et , en posant , on obtient

Applications[modifier | modifier le code]

Source[modifier | modifier le code]

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)