Lemme de Neyman-Pearson

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En statistiques, selon le lemme de Neyman-Pearson, lorsque l'on veut effectuer un test d'hypothèse entre deux hypothèses H0 : θ = θ0 et H1 : θ = θ1, pour un échantillon , alors le test du rapport de vraisemblance, qui rejette H0 en faveur de H1 lorsque , où est tel que

,

est le test le plus puissant de niveau .

Ce lemme est nommé d'après Jerzy Neyman et Egon Sharpe Pearson.

En pratique, la plupart du temps, le rapport de vraisemblance lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le test de rapport de vraisemblance ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme pour une statistique plus simple, et le test est effectué sous cette forme-ci.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Théorème : La région de rejet optimale est définie par l'ensemble des points tels que

où la constante est telle que . À noter qu'on a les relations suivantes :


est l'échantillon.

Démonstration :

Montrons tout d'abord que lorsque est une densité bornée, il existe toujours une constante telle que

.
En effet, lorsque , cette probabilité vaut 1. D'autre part, cette probabilité décroit monotonément et continument vers zéro, lorsque . Par conséquent, il doit exister une valeur finie de , appelée , qui satisfait l'égalité, .
Désignons alors par , le sous-ensemble de suivant,
,
et soit une autre partie de , telle que . Montrons que .

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