Lemme de Nakayama

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Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à Tadashi Nakayama (de), Goro Azumaya (de) et Wolfgang Krull.

Énoncés

Un énoncé général est le suivant :

Lemme de Nakayama (cas général) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini, I un idéal de A, et N un sous-A-module de M tel que . Alors il existe un élément de I tel que .

La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :

Lemme de Nakayama (cas particulier) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que . Alors il existe un élément de I tel que .

Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :

Corollaire — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I le radical de Jacobson de A. Si alors .

(En effet, dans ce cas, est inversible.)

Démonstrations

Cas particulier

On suppose que . On a alors .

Soit une famille génératrice de M. Il existe des tels que pour tout i, . En notant Y la matrice des et d le déterminant de , on en déduit que dM=(0) (car tous les sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à 1+I. (Alternativement, on peut invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)

Cas général

Le -module est de type fini et vérifie , il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément tel que ce qui revient à .