Lemme de Hadamard

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Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit une fonction de classe avec . Alors pour tout , il existe des fonctions , de classe telles que pour tout ,

Démonstration[modifier | modifier le code]

On a (second théorème fondamental de l'analyse).

Mais (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec qui est en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

Remarques[modifier | modifier le code]

  • On a nécessairement .
  • Les fonctions ne sont pas uniques.