Lemme de Hadamard

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Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit  f:\R^n\rightarrow\R une fonction de classe C^p avec p\ge 1. Alors pour tout a=(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n, il existe des fonctions g_1,\cdots g_n, de classe C^{p-1} telles que pour tout x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,

f(x)=f(a)+\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)g_i(x).

Démonstration[modifier | modifier le code]

On a f(x)-f(a)=\int_0^1\frac{\rm d}{{\rm d}t}f(a+t(x-a))~{\rm d}t (théorème fondamental de l'analyse).

Mais \frac{\rm d}{{\rm d}t}f(a+t(x-a))=\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+t(x-a)) (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec g_i(x)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+t(x-a))~{\rm d}t qui est C^{p-1} en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

Remarques[modifier | modifier le code]

  • On a nécessairement g_i(a) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).
  • Les fonctions g_i ne sont pas uniques.