Lemme de Grönwall

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En mathématiques, le lemme de Grönwall, ou aussi appelé inégalité de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (en) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.

Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

Si, pour , et sont des fonctions continues qui vérifient :

,

et sont des constantes positives, alors :

pour

Démonstration :

Soit

Cette fonction est dérivable et sa dérivée vaut

Or d'après les hypothèses,

En intégrant le rapport (ou en appliquant la formule de Duhamel), on trouve que

Autre démonstration possible : il s'agit de voir qu'en , le rapport

vaut 1 en, puis constater en le dérivant que ce rapport est décroissant.

En particulier, si alors d'où

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

Si l'équation différentielle suivante est vérifiée :

,

alors on a l'inégalité :

,

ce qui permet de conclure que

pour

En particulier, si , alors

Forme discrète[modifier | modifier le code]

La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.

Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :

le pas de temps à chaque itération,
l'erreur totale (accumulée) à l'itération ,
l'erreur supplémentaire apportée par l'itération .

Considérons de plus le nombre réel positif qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.

Finalement ajoutons pour simplifier l'écriture :

le temps à l'itération ,

de sorte que .

Si de plus les erreurs successives sont liées par la relation suivante :

,

alors on a :

.

La démonstration se fait par récurrence en notant que pour tout .

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) J. A. Oguntuase, On an inequality of Gronwall, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 2, n° 1, 2001