Lemme de Fatou

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Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été démontré par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme compare l'intégrale d'une limite inférieure de fonctions mesurables positives avec la limite inférieure de leurs intégrales.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de théorème de Fatou-Lebesgue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un espace mesuré. Pour toute suite de fonctions mesurables sur à valeurs dans [0,+∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

Exemple[modifier | modifier le code]

En appliquant le lemme de Fatou au cas où chaque fn est l'indicatrice d'une partie mesurable An de E, on obtient :

où la limite inférieure de gauche est la limite inférieure de la suite d'ensembles.

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au lemme de Fatou. En effet, par croissance de la suite , on a

Démonstration[modifier | modifier le code]

Définissons la suite de fonctions par :

Par construction, les fonctions forment une suite croissante de fonctions mesurables positives et la limite simple de cette suite est égale à la limite inférieure des . Le théorème de convergence monotone s'applique et donne :

Or pour tout . Donc

et par suite

Par conséquent, en passant à la limite

L'exemple suivant montre que l'égalité n'est pas vérifiée en général. Considérons la suite , sur muni de la mesure de Lebesgue, telle que et . Alors pour tout , donc , tandis que pour tout .

Liens externes[modifier | modifier le code]