Lemme de Fatou

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Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été démontré par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme compare l'intégrale d'une limite inférieure de fonctions mesurables positives avec la limite inférieure de leurs intégrales.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de « théorème de Fatou-Lebesgue ».

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un espace mesuré. Pour toute suite de fonctions mesurables sur à valeurs dans [0, +∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

.

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

Exemples[modifier | modifier le code]

Cas d'inégalité stricte[modifier | modifier le code]

L'exemple suivant montre que l'égalité n'est pas vérifiée en général. Considérons la suite sur muni de la mesure de Lebesgue, telle que et . Alors pour tout , donc , tandis que pour tout .

Indicatrices[modifier | modifier le code]

En appliquant le lemme de Fatou au cas où chaque fn est l'indicatrice d'une partie mesurable An de E, on obtient :

,

où la limite inférieure de gauche est la limite inférieure de la suite d'ensembles.

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au lemme de Fatou. En effet, par croissance de la suite , on a

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. L. Carothers, Real Analysis, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 321.
  2. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 1 : Analyse vectorielle, PPUR, (lire en ligne), p. 241-242.
  3. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3, Dunod, (lire en ligne), p. 250 (dans le cadre de l'intégrale de Kurzweil-Henstock).
  4. Ou encore : pour tout , par définition de et croissance de l'intégrale, puis, par monotonie de l'opérateur , .