Lemme de Borel-Cantelli

Le lemme de Borel-Cantelli est un résultat de théorie de la mesure très utilisé en théorie des probabilités. Il intervient par exemple dans la preuve de Kolmogorov de la loi forte des grands nombres.

Une réciproque partielle au lemme de Borel-Cantelli, valable uniquement dans le cadre d'un espace de probabilité et de suites d'évènements indépendants, est parfois connue sous le nom de « second lemme de Borel-Cantelli ».

Le lemme de Borel-Cantelli tire son nom des mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli.

Introduction

La façon la plus simple d'énoncer le lemme de Borel-Cantelli consiste à se placer dans le cadre de la théorie des probabilités et à considérer une suite $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ d'événements.

Lemme de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités d'une suite $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ d'événements d'un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite $(X_{n})_{n\geqslant 1}$ de variables aléatoires, possiblement reliées les unes aux autres, telle que, pour tout $n\geqslant 1,$

$\mathbb {P} (X_{n}=0)={\frac {1}{n^{2}}}.$

La somme des $\mathbb {P} (X_{n}=0)$ est finie, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que $X_{n}=0$ se produise pour une infinité d'indices $n$ est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, $X_{n}$ est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) $n_{0}.$ On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par

$A_{n}=\{X_{n+1}=0\}=\{\omega \in \Omega \ |\ X_{n+1}(\omega )=0\}$.

Limite supérieure d'ensembles

Définition — La limite supérieure d'une suite $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ de parties d'un ensemble $\Omega$ est l'ensemble $\textstyle \limsup _{n}\,A_{n}$ des éléments $\omega$ de $\Omega$ tels que l'assertion $\omega \in A_{n}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $n\geqslant 0$.

En d'autres termes, on peut dire que $\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si l'ensemble $\{k\geqslant 0\ \vert \ \omega \in A_{k}\}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $n\geqslant 0$, on peut trouver $k\geqslant n$ tel que $\omega \in A_{k}$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geqslant 0}\,\left(\bigcup _{k\geqslant n}A_{k}\right).$

On dit aussi parfois que $\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\{\omega \in A_{n}\}$ « infiniment souvent » — « infinitely often » en anglais, d'où la notation « i.o » rencontrée dans certains ouvrages :

$\limsup _{n}A_{n}=\{A_{n}{\text{ i.o.}}\}.$

Finalement, remarquons que la définition « $\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\omega$ appartient à une infinité de $A_{n}$ » ne présuppose pas que les ensembles $A_{n}$ soient différents : il est par exemple possible de prendre tous les ensembles $A_{n}$ égaux à un même ensemble $A$.

Énoncé en théorie de la mesure

Pour un espace mesuré général $(X,{\mathcal {A}},\mu )$, le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Lemme de Borel-Cantelli — Soit $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ une suite dans ${\mathcal {A}}$. Si

$\sum _{n\geqslant 0}\mu (A_{n})<+\infty ,$

alors

$\mu (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Démonstration

Soit $\textstyle B_{n}=\bigcup _{k\geq n}A_{k}$. Alors,

• $B_{n}$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'éléments de ${\mathcal {A}},$ car $B_{n}=A_{n}\cup B_{n+1}$ ;
• pour tout $n\geq 0,$ on a $\mu (B_{n})<+\infty .$

Le deuxième point découle de la majoration

$\mu (B_{n})=\mu \left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)\leq \sum _{k\geq n}\mu (A_{k}),$

et de l'hypothèse selon laquelle $\mu (A_{n})$ est le terme général d'une série convergente. Les 2 conditions permettant de conclure que

$\mu \left(\bigcap _{n\geq 0}B_{n}\right)=\lim _{n}\ \mu (B_{n})$

sont ainsi remplies. De plus, $\mu (B_{n})$ est majorée par

$r_{n}=\sum _{k\geq n}\mu (A_{k}),$

qui est le reste d'une série convergente. Par conséquent, $\textstyle \lim _{n}\mu (B_{n})=0.$ Comme $\textstyle \limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}B_{n},$ on conclut que $\textstyle \mu \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.$

Énoncé en théorie des probabilités

Un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que $\mathbb {P} \left(\Omega \right)=1$, alors que dans le théorème général, la mesure (positive) μ n'est pas supposée finie a priori. En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire :

Lemme de Borel-Cantelli — Dans un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),$ considérons une suite $(A_{n})_{n\geqslant 0}$ d'éléments de ${\mathcal {A}}$. Si

$\sum _{n\geqslant 0}\mathbb {P} (A_{n})<+\infty ,$

alors

$\mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli est lié à la loi du zéro-un de Borel, avec laquelle il ne doit pas être confondu :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements $A_{n}$ sont indépendants, alors $\textstyle \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général $\mathbb {P} (A_{n})$ est convergente ou divergente.

Le lemme de Borel-Cantelli ne traite que du cas ou la série $\textstyle \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$ est convergente, et montre que dans ce cas l'hypothèse d'indépendance n'est pas nécessaire. Le résultat affirmant que pour une suite $(A_{n})$ d'évènements indépendants, $\textstyle \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})=+\infty \implies \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=1$ est parfois connu sous le nom de second lemme de Borel-Cantelli.

La loi du zéro-un de Borel montre en particulier que l'hypothèse $\textstyle \sum _{n\geqslant 0}\mathbb {P} (A_{n})<+\infty$ du lemme de Borel-Cantelli ne peut pas cas être affaiblie en $\textstyle \lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0$. En effet, on peut avoir $\textstyle \lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0$ et $\textstyle \sum _{n\geqslant 0}\mathbb {P} (A_{n})=+\infty$, auquel cas, pour des évènements $(A_{n})$ indépendants  :

$\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0\qquad {\text{et}}\qquad \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=1.$

Voir aussi

• Loi du zéro un de Kolmogorov