Jacques Touchard

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Touchard.

Jacques Touchard (1885 – 1968) est un mathématicien français, connu pour ses travaux en combinatoire.

Travaux[modifier | modifier le code]

En 1953, il prouva que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard (en), qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.

Identité de Touchard[modifier | modifier le code]

Les nombres de Catalan[1]

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard[2] :

.

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

,

on peut prouver par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

.

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. Les exercices 6.19 à 6.50 de (en) Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, vol. 2, CUP, , 1e éd., poche (ISBN 978-0-521-78987-5, LCCN 96044267) donnent de nombreuses définitions des nombres de Catalan.
  2. Par exemple ici : Shapiro, Louis W, « A short proof of an identity of Touchard's concerning Catalan numbers », Journal of Combinatorial Theory, Series A, Elsevier, vol. 20, no 3,‎ , p. 375-376

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacques Touchard » (voir la liste des auteurs).