Jacques Touchard

Biographie
Naissance	19 août 1885 Sissach
Décès	5 septembre 1968 (à 83 ans) Lausanne
Nom de naissance	Jacques André Charles Touchard
Nationalité	française
Activité	Mathématicien

Autres informations
Distinction	Chevalier de la Légion d'honneur‎

Contributions principales
polynômes de Touchard nombres de Catalan problème des ménages

Jacques Touchard (1885 – 1968) est un mathématicien français, connu pour ses travaux en combinatoire.

Travaux[modifier | modifier le code]

En 1953, il démontra que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard, qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.

Identité de Touchard[modifier | modifier le code]

Les nombres de Catalan^[1]

C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard^[2] :

\forall n\in \mathbb {N} ,\quad C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}

.

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}

,

on peut démontrer par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

{t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Les exercices 6.19 à 6.50 de (en) Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, vol. 2, CUP, 2001, 1^re éd., 585 p., poche (ISBN 978-0-521-78987-5, LCCN 96044267, lire en ligne) donnent de nombreuses définitions des nombres de Catalan.
↑ Par exemple ici : Shapiro, Louis W, « A short proof of an identity of Touchard's concerning Catalan numbers », Journal of Combinatorial Theory, Series A, Elsevier, vol. 20, n^o 3,‎ 1976, p. 375-376

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacques Touchard » (voir la liste des auteurs).

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notices d'autorité :
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Ressource relative à la vie publique :
- base Léonore

[1] Les exercices 6.19 à 6.50 de (en) Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, vol. 2, CUP, 2001, 1^re éd., 585 p., poche (ISBN 978-0-521-78987-5, LCCN 96044267, lire en ligne) donnent de nombreuses définitions des nombres de Catalan.

[2] Par exemple ici : Shapiro, Louis W, « A short proof of an identity of Touchard's concerning Catalan numbers », Journal of Combinatorial Theory, Series A, Elsevier, vol. 20, n^o 3,‎ 1976, p. 375-376

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[2]