Ivar Bendixson

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Ivar Otto Bendixson ( - ) est un mathématicien suédois.

Il a travaillé sur les infinis de Cantor et est connu pour le théorème de Poincaré-Bendixson, le théorème de Cantor-Bendixson (en) et le théorème de Bendixson-Dulac (en).

Biographie[modifier | modifier le code]

Bendixson se consacre d'abord à la théorie des ensembles de Georg Cantor, pour laquelle il trouve entre autres un exemple de fermé partout non-connexe[1] et démontre que tout ensemble fermé non dénombrable peut être décomposé comme union disjointe d'un ensemble complet et d'un ensemble dénombrable (théorème de Cantor-Bendixson).

Il est aujourd'hui surtout connu pour le théorème de Poincaré-Bendixson, qui décrit le comportement des courbes intégrales des équations différentielles autonomes de premier ordre (qui, dans la théorie originale de Poincaré, décrivent l'évolution temporelle des systèmes dynamiques) en deux dimensions au voisinage d'une singularité. Ce théorème énonce que la courbe se termine par un point singulier (source ou puits), ou bien qu'il existe un cycle limite (la courbe intégrale « orbite » autour du point singulier). Bendixson en a donné la démonstration en 1901, indépendamment de Poincaré[2].

Il a également étudié les solutions périodiques des équations différentielles par la méthode du développement en fraction continue. Dans le domaine de la résolution des équations algébriques, il a repris la méthode d'Abel pour déterminer si une équation est soluble par radicaux (Abel s'était borné à montrer que certaines équations du cinquième degré ne sont pas solubles par radicaux).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Un ensemble fermé sans point isolé, c'est-à-dire que tout point de l'ensemble est une valeur d'adhérence
  2. Cf. Bendixson, « Sur les courbes définies par des équations différentielles. », Acta Mathematica, vol. 24,‎ , p. 1-88

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Ivar Bendixson », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).