Invariance de Lorentz

Dans les cadres de la relativité restreinte et donc de la relativité générale, une quantité est dite invariante de Lorentz, scalaire de Lorentz ou encore invariante relativiste, lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une transformation de Lorentz. Sa valeur est donc la même dans tous les référentiels galiléens.

Le premier exemple de quantité invariante de Lorentz est la métrique de Minkowski $\eta _{\mu \nu }\,$. Si on considère une transformation de Lorentz représentée par $\Lambda \,$, alors on a par définition des transformations de Lorentz

$\Lambda ^{t}\eta \Lambda =\eta \,$

si on utilise la notation matricielle, ou

${\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }\eta _{\mu '\nu '}=\eta _{\mu \nu }\,$

si on adopte la notation d'indices plus commune en physique. On a adopté pour cette dernière la convention de sommation d'Einstein qui somme implicitement selon les quatre directions tout indice apparaissant à la fois en haut et en bas d'une expression.

À partir de cette quantité invariante fondamentale on peut en construire d'autres. Par exemple si on considère le quadrivecteur d'énergie-impulsion,

$P^{\mu }={\begin{pmatrix}E\\{\vec {p}}\,c\end{pmatrix}}\,$

constitué de l'énergie $E\,$ et de l'impulsion ${\vec {p}}\,$. Il n'est pas invariant de Lorentz car il se transforme de la façon suivante

$P^{\mu }\rightarrow {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }P^{\nu }\,$

Mais par contre on peut construire la quantité quadratique suivante par contraction de ce quadrivecteur en utilisant la métrique

$P^{2}\equiv P^{\mu }P_{\mu }\equiv \eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }=-E^{2}+p^{2}c^{2}=-m^{2}c^{4}\,$

qui définit la masse en relativité restreinte. Cette quantité est un invariant de Lorentz, car si $P^{\mu }$ subit une transformation de Lorentz, la quantité $P^{\mu }P_{\mu }$ devient :

$P^{\mu }P_{\mu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }\rightarrow \eta _{\mu \nu }({\Lambda ^{\mu }}_{\rho }P^{\rho })({\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }P^{\sigma })=\eta _{\rho \sigma }P^{\rho }P^{\sigma }=P^{\rho }P_{\rho }$

où on a utilisé l'invariance de la métrique énoncée au début de l'article pour l'avant-dernière étape du calcul. Comme $\mu$ et $\rho$ sont des indices muets, on a bien retrouvé la norme du quadrivecteur $P$, qui est donc une grandeur invariante.

Dans cette démonstration, nous n'avons à aucun moment utilisé l'expression explicite de $P$, ce qui signifie que la norme de n'importe quel quadrivecteur est une grandeur conservée par les transformations de Lorentz.

Le fait qu'une quantité soit invariante permet d'obtenir des résultats intéressants en choisissant des référentiels particuliers. Par exemple, si on considère le cas d'une particule de masse non nulle $m\,$, alors on peut considérer le référentiel de repos dans lequel on a ${\vec {p}}=0\,$. On obtient alors la célèbre identité :

$E=mc^{2}\,$

Par contre dans le cas d'une particule de masse nulle, comme le photon, il est impossible de trouver un tel référentiel mais on a alors la relation

$E=pc\,.$

Articles connexes

• Relativité restreinte
• E=mc²
• Calculs relativistes
• Transformations de Lorentz
• Covariance
• Symétrie