Intégrales de collision

Les intégrales de collision sont des quantités qui interviennent dans le calcul des propriétés de transport des gaz (coefficients de diffusion, viscosités, conductivité) et qui font le lien avec le niveau microscopique décrit par le potentiel d'interaction entre deux particules.

Collision élastique de deux particules[modifier | modifier le code]

Les vitesses avant interaction sont $v i$ et $v j$ dans un référentiel galiléen. Les indices représentent indifféremment une même espèce ou deux espèces différentes. Ces vitesses valent $v i'$ et $v j'$ après interaction. On se place dans un système centré sur le barycentre qui a une vitesse constante du fait de la conservation de la quantité de mouvement. Dans ce système qui est donc galiléen la vitesse initiale de la particule $j$ est la vitesse relative $g ij = v i - v j$ . Par symétrie on peut affirmer que la trajectoire sera contenue dans le plan contenant l'origine et $g ij$ . On choisit un repère tel que $\mathbf {\Omega } ={\frac {\mathbf {g} _{ij}}{||\mathbf {g} _{ij}||}}=[1,0,0]$ (voir figure). Dans ce repère la déviation est $θ$ , fonction du paramètre d'impact $b$ , de la vitesse relative $g ij$ et du potentiel d'interaction que l'on suppose ne dépendant que de la distance en les deux particules en interaction. Si cette hypothèse est rigoureuse pour l'interaction entre deux atomes, on peut la considérer utilisable pour deux molécules : le potentiel est alors un potentiel moyen statistique.

La direction de sortie d'interaction est définie par $\mathbf {\Omega '} ={\frac {\mathbf {g'} _{ij}}{||\mathbf {g'} _{ij}||}}$ . On peut calculer les vitesses finales à partir des considérations suivantes :

la conservation de la quantité de mouvement dans l'interaction implique

\mathbf {v} _{i}'+\mathbf {v} _{j}'=\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j}

la vitesse relative $g ij$ a un module constant du fait de la conservation de l'énergie, donc $g ij' = g ij$ ou

|\mathbf {v} _{i}'-\mathbf {v} _{j}'|=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|

Les vitesses après l'interaction sont donc

\mathbf {v} _{i}'(b,g)=\mathbf {v} _{i}-(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\,\mathbf {\Omega '}

\mathbf {v} _{j}'(b,g)=\mathbf {v} _{j}+(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\,\mathbf {\Omega '}

De plus la conservation du moment cinétique au cours de l'interaction conduit à $b' = b$ .

Le système décrivant la collision est réversible. Le théorème de Liouville permet donc d'écrire

\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}'\mathrm {d} \mathbf {v} _{j}'=\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}\,\mathrm {d} \mathbf {v} _{j}

Définition de l'intégrale de collision[modifier | modifier le code]

La méthode de Chapman-Enskog permet, dans le cas d'un gaz, de retrouver les équations de Navier-Stokes comme solution à l'ordre un d'un développement asymptotique de l'équation de Boltzmann. Les quantités qui apparaissent font intervenir les intégrales suivantes, liées aux collisions des couples de particules $(i, j)$ ^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4].

\Lambda _{ij}^{l,s}={\sqrt {\frac {2\pi kT}{m_{ij}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\gamma _{ij}^{2}}\,\gamma _{ij}^{2s+3}\left(1-\cos ^{l}\theta \right)b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} \gamma _{ij}\,,\quad \theta =\theta \left(b,g_{ij}\right)

où

$m_{ij}=\left(m_{i}^{-1}+m_{j}^{-1}\right)^{-1}$	est la masse réduite,
$\gamma _{ij}={\sqrt {\frac {m_{ij}}{kT}}}{\frac {g_{ij}}{2}}$	est la vitesse relative réduite.

La distance d'approche minimale pour le potentiel choisi $V (r)$ supposé de révolution (au moins en moyenne sur toutes les collisions) est :

r_{m}=b\left(1-{\frac {V(r)}{{\frac {1}{2}}m_{ij}g_{ij}^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}

L'angle de déviation est donné par :

\theta =\pi -2\int _{r_{m}}^{\infty }\left({\frac {1}{r_{m}^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}

Le calcul est analytique pour un potentiel sphères dures de diamètres $σ ij$ :

\left[\Lambda _{ij}^{l,s}\right]_{SD}={\sqrt {\frac {kT}{2\pi m_{ij}}}}{\frac {(s+1)!}{2}}\left[1-{\frac {1+(-1)^{l}}{2(1+l)}}\right]\pi \sigma _{ij}^{2}

Dans le cas général, par exemple avec un potentiel de Lennard-Jones très utilisé par le passé à cause de sa simplicité et de son réalisme, on définit des intégrales de collision réduites^[2] :

{\overline {\Lambda }}^{i,j}={\frac {\Lambda ^{i,j}}{\left[\Lambda _{ij}^{l,s}\right]_{SD}}}

Par construction la valeur de ces intégrales est proche de l'unité. Elles sont tabulées pour divers potentiels^[2]^,^[5].

Propriétés de transport[modifier | modifier le code]

Les quantités l et s sont relatives aux expressions des coefficients de transport dans lesquelles elles interviennent.

Propriété	collision (i, i)	collision (i, j≠i)
viscosité	$\Lambda ^{2,2}$	$\Lambda ^{2,2}$ , $\Lambda ^{1,1}$
conductivité	$\Lambda ^{2,2}$	$\Lambda ^{2,2}\,,\Lambda ^{1,s},s=1,2,3$
diffusion	$\Lambda ^{1,1}$	$\Lambda ^{1,1}$
diffusion thermique	---	$\Lambda ^{2,2}\,,\Lambda ^{1,s},s=1,2,3$

Ainsi on obtient pour un gaz homogène :

- le coefficient d'auto-diffusion	${\mathcal {D}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {3}{8}}{\frac {\sqrt {\pi mkT}}{{\overline {\Lambda }}^{1,1}}}$
- la viscosité dynamique	$\mu ={\frac {5}{16}}{\frac {\sqrt {\pi mkT}}{{\overline {\Lambda }}^{2,2}}}$
- la conductivité thermique	$\lambda ={\frac {5}{2}}C_{V}\mu ={\frac {25}{32}}{\frac {C_{V}{\sqrt {\pi mkT}}}{{\overline {\Lambda }}^{2,2}}}$

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Sydney Chapman et Thomas George Cowling, The Mathematical Theory of Non-uniform Gases : an account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction, and diffusion in gases, Cambridge/New York/Port Chester etc., Cambridge University Press, 1991, 422 p. (ISBN 0-521-40844-X)
↑ ^{a b et c} (en) Joseph Oakland Hirschfelder, Charles Francis Curtiss et Robert Byron Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, 1966 (ISBN 978-0-471-40065-3)
↑ (en) Gilberto Medeiros Kremer, « The Methods of Chapman-Enskog and Grad and Applications », RTO-EN-AVT 194,‎ 2011 [1]
↑ Raymond Brun, Introduction à la dynamique des gaz réactifs, Toulouse, Cépaduès, 2015, 402 p. (ISBN 978-2-36493-190-9)
↑ (en) Max Klein et Francis J. Smith, « Tables of Collision Integrals for the (m,6) Potential Function for 10 Values of m », Journal of Research of the National Bureau of Standards. A. Physics and Chemistry, vol. 71A, n^o 4,‎ 1968 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail de la physique

[Chapman-1] (en) Sydney Chapman et Thomas George Cowling, The Mathematical Theory of Non-uniform Gases : an account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction, and diffusion in gases, Cambridge/New York/Port Chester etc., Cambridge University Press, 1991, 422 p. (ISBN 0-521-40844-X)

[Hirschfelder-2] {a b et c} (en) Joseph Oakland Hirschfelder, Charles Francis Curtiss et Robert Byron Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, 1966 (ISBN 978-0-471-40065-3)

[Kremer-3] (en) Gilberto Medeiros Kremer, « The Methods of Chapman-Enskog and Grad and Applications », RTO-EN-AVT 194,‎ 2011 [1]

[Brun-4] Raymond Brun, Introduction à la dynamique des gaz réactifs, Toulouse, Cépaduès, 2015, 402 p. (ISBN 978-2-36493-190-9)

[5] (en) Max Klein et Francis J. Smith, « Tables of Collision Integrals for the (m,6) Potential Function for 10 Values of m », Journal of Research of the National Bureau of Standards. A. Physics and Chemistry, vol. 71A, n^o 4,‎ 1968 (lire en ligne)

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