Inégalité de Bernoulli

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L'inégalité de Bernoulli[1] énonce que :

(1+x)^n>1+nx

pour tout entier n > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1[2].

Démonstration par récurrence[modifier | modifier le code]

On suppose fixé un réel \scriptstyle x\in[-1,0[\cup]0,+\infty[ et on montre l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n.

  • Initialisation : (1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x donc la propriété est vraie pour n = 2.
  • Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1+x)^k>1+kx et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que (1+x)^{k+1}>1+(k+1)x.
    En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x.
  • Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

(1+x)^r>1+rx.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
  2. Dans le cas particulier x > 0, cette inégalité se déduit immédiatement de la formule du binôme : (en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », MathWorld.