Inégalité de Bernoulli

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — nommée d'après Jacques Bernoulli — énonce que :

pour tout entier[1] n > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1.

Démonstration par récurrence[modifier | modifier le code]

On suppose fixé un réel et l'on montre l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence[2] sur n.

  • Initialisation : donc la propriété est vraie pour n = 2.
  • Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que .
    En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : .
  • Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
  2. Un méthode plus rapide est d'utiliser la formule du binôme si x > 0 ((en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », MathWorld) et la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique si −1 ≤ x < 0 ().