Identité de Landsberg-Schaar

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres et en analyse harmonique, l’identité de Landsberg–Schaar est la relation suivante, vraie pour des entiers positifs p et q arbitraires :

Bien que les deux membres de l'égalité ne soient que des sommes finies, aucune démonstration par des méthodes finitaires n'a encore été découverte. La démonstration actuelle[1] consiste à poser (avec ) dans l'identité suivante (due à Jacobi, et qui est essentiellement un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson en analyse harmonique) :

puis de faire tendre vers 0.

Prenant q = 1, l'identité se réduit à la formule donnant la valeur des sommes quadratiques de Gauss.

Si pq est pair, on peut réécrire l'identité sous la forme plus symétrique

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landsberg–Schaar relation » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) H. Dym et H.P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press, 1972.