Identité de Binet-Cauchy

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que[1] :

pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où ai = ci et bj = dj, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Relation avec l'algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur (qui s'identifie, pour n = 3, avec le produit vectoriel), l'identité peut s'écrire

a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)

.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

,

ce qui permet de regrouper ainsi  :

Factorisant les termes indexés par i, l'identité en résulte.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m, on a

où, S étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant m éléments, AS est la matrice m×m dont les colonnes sont celles de A ayant leurs indices dans S, et de même BS est la matrice m×m formée des lignes de B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, CRC Press, , 2e éd. (ISBN 978-1-58488347-0), « Binet-Cauchy identity », p. 228