Holomorphe d'un groupe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, l'holomorphe d'un groupe G, noté , est un certain groupe qui contient à la fois G et le groupe des automorphismes de G, ou du moins des copies de ces deux groupes. Il permet notamment de démontrer les réciproques de certains théorèmes sur les groupes complets et sur les groupes caractéristiquement simples. Il en existe deux versions, l'une comme produit semi-direct, l'autre comme groupe de permutations.

Hol(G) comme produit semi-direct[modifier | modifier le code]

Si désigne le groupe des automorphismes de , on pose

où le produit semi-direct (externe) correspond à l'opération naturelle de sur G. Donc a pour ensemble sous-jacent le produit cartésien de G par et sa loi de groupe est définie par

Hol(G) comme groupe de permutations[modifier | modifier le code]

Un groupe G opère naturellement (à gauche) sur lui-même, ou plus exactement sur son ensemble sous-jacent, par multiplication à gauche et par multiplication à droite. L'opération (à gauche) par multiplication à gauche correspond à l'homomorphisme

de dans , étant muni de la loi de groupe . L'opération (à gauche) par multiplication à droite correspond à l'homomorphisme

(Dans cette seconde opération, il est nécessaire d'inverser g pour obtenir une opération à gauche, c'est-à-dire un homomorphisme de dans tel que nous l'avons défini.)

Ces deux homomorphismes sont injectifs et définissent donc des isomorphismes de G sur les sous-groupes et (d'où le théorème de Cayley). Pour un élément g donné, la permutation de G est souvent appelée[1] la translation à gauche par g.

Définissons maintenant comme le sous-groupe de engendré par et . On vérifie facilement que si est un élément de , alors

,

ce qui montre que normalise . Donc, puisque et engendrent , est un sous-groupe normal de . (On peut même montrer que est le normalisateur de dans .)

On a de plus (car si une translation est un automorphisme, sa valeur en 1 doit être égale à 1). Ainsi, est produit semi-direct (interne) de par . Il résulte dès lors de la relation (1) que l'application définit un isomorphisme du produit semi-direct externe (correspondant à l'opération naturelle de sur G) sur . Les deux versions de que nous avons définies sont donc des groupes isomorphes.

On montre[2] facilement que (défini comme groupe de permutations) est aussi le sous-groupe de engendré par et . (Noter que , où désigne l'automorphisme intérieur .)

Puisque définit un isomorphisme de sur , tout automorphisme de est de la forme pour un certain automorphisme de G. La relation (1) montre donc que

  • tout automorphisme de est la restriction d'un automorphisme intérieur de .

Puisque est isomorphe à G, il en résulte que

  • tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la restriction à G d'un automorphisme intérieur de H.

Il en résulte aussi[3] qu'

  • un sous-groupe de est caractéristique dans si et seulement s'il est normal dans .

(Rappel : un sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe H est normal dans H.)

Deux exemples d'usage du groupe holomorphe[modifier | modifier le code]

  • Rappelons qu'un groupe est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et si tous ses automorphismes sont intérieurs. On démontre[4] que si un groupe complet G est sous-groupe normal d'un groupe H, alors G est facteur direct de H. On prouve[2] réciproquement que si un groupe G est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, G est complet. Pour cela, on utilise le fait que, dans ces hypothèses, λ(G) est facteur direct de Hol(G).
  • Rappelons qu'un groupe G est appelé[5] un groupe caractéristiquement simple si ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et G lui-même. On montre facilement[6] que tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est caractéristiquement simple. Prouvons que, réciproquement, tout groupe caractéristiquement simple G non réduit à l'élément neutre peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. Puisque λ(G) est isomorphe à G, il suffit de prouver que λ(G) est un sous-groupe normal minimal de Hol(G). Cela se tire facilement du fait, noté plus haut, qu'un sous-groupe de λ(G) est caractéristique dans λ(G) si et seulement s'il est normal dans Hol(G).

Histoire[modifier | modifier le code]

Le mot anglais « holomorph », pour désigner l'holomorphe d'un groupe, fut introduit en 1897 par William Burnside. La notion avait cependant déjà apparu antérieurement chez d'autres auteurs[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Holomorph (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

  1. Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, p. 15.
  2. a et b Voir par exemple Rotman 1999, p. 164.
  3. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, , 2e éd. (1re éd. 1964) (ISBN 978-0-48665377-8, lire en ligne), p. 214.
  4. Voir par exemple Scott 1987, p. 450, ou encore Rotman 1999, p. 163.
  5. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, , p. 257, suppose G non réduit à l'élément neutre. Scott 1987, p. 73 ne le suppose pas.
  6. Voir par exemple Rotman 1999, p. 106 (début de la démonstration du théorème 5.24) ou encore Calais 1984, p. 257, exerc. 3.
  7. (en) G. A. Miller (en), H. F. Blichfeldt (de) et L. E. Dickson, Theory and Applications of Finite Groups, New York, 1916, réimpr. Applewood Books, 2012, p. 46, consultable sur Google Livres. Le passage de Burnside est : W. Burnside, Theory of groups of finite order, 1e éd., Cambridge, 1897, p. 228, consultable sur le site du projet Gutenberg ou encore sur le site archive.org.