Hiérarchie BBGKY

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La hiérarchie BBGKY (pour les initiales de : Bogolioubov, Born, Green, Kirkwood et Yvon) est une méthode permettant d'exprimer l'équation descriptive de la fonction de distribution d'un système à N corps sous forme d'une série d'équations de rang plus faible et ainsi de permettre diverses approximations.

Auteurs[modifier | modifier le code]

Plusieurs physiciens ont publié des travaux qui ont conduit à ce que l'on appelle aujourd'hui la hiérachie BBGKY. Ce sont dans l'ordre alphabétique :

B Nikolaï Bogolioubov[1],[2] (1946)
BG Max Born et Herbert Green[3] (1946)
K John Kirkwood[4] (1946)
Y Jacques Yvon[5] (1935)

Yvon a développé en 1935 la notion de fonction de distribution à N particules. En 1946 divers physiciens ont publié des résultats utilisant la méthode décrite ici.

Formulation[modifier | modifier le code]

L'évolution d'un système classique constitué de N particules est donné par l'évolution de la fonction de distribution :

où les qi sont les coordonnées généralisées du système et les pi les impulsions de chaque particule. Il y a donc 6N variables dans un espace tridimensionnel.

Cette évolution est donnée par l'équation de Liouville :

est le potentiel d'interaction des particules i et j,
un éventuel potentiel externe.

On définit à présent des fonctions de distribution pour des ensembles de 2, 3..., s particules :

En intégrant par parties l'équation de Liouville on obtient une hiérarchie d'équations pour chacun des ensembles :

Chaque équation sur fs fait apparaître au second membre toutes les fonctions de distribution d'ordre plus élevé. Telle quelle cette équation est équivalente à la précédente. Son intérêt est de permettre une troncation à l'ordre s en supposant que l'on sait exprimer fs+1 en fonction des termes de rang inférieur. Un exemple est l'équation de Vlasov dans laquelle on s'arrête à l'ordre 1 et on effectue une approximation de champ moyen :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (ru) N. N. Bogoliubov, « Kinetic Equations », Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol. 16, no 8,‎ , p. 691–702
  2. (en) N. N. Bogoliubov, « Kinetic Equations », Journal of Physics USSR, vol. 10, no 3,‎ , p. 265–274
  3. (en) Max Born et Herbert S. Green, « A General Kinetic Theory of Liquids I: The Molecular Distribution Functions », Proceedings of the Royal Society, vol. A188,‎ , p. 10-18
  4. (en) John G. Kirkwood, « The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory », The Journal of Chemical Physics, vol. 14, no 3,‎ (DOI 10.1063/1.1724117)
  5. Jacques Yvon, « La théorie statistique des fluides et l’équation d’état », Actualités scientifiques et industrielles, Hermann, no 203,‎

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]