Groupe de Lorentz

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Le groupe de Lorentz est le groupe mathématique constitué par l'ensemble des transformations de Lorentz de l'espace de Minkowski. C'est un groupe connexe.

Les formules mathématiques :

sont toutes invariantes sous les transformations de Lorentz. En conséquence, le groupe de Lorentz exprimerait la symétrie fondamentale de plusieurs lois de la nature.

Le groupe de Lorentz restreint[modifier | modifier le code]

Le groupe de Lorentz propre et orthochrone ou restreint est un sous-groupe du groupe orthogonal qui réunit tous les automorphismes orthogonaux (applications linéaires bijectives) de l'espace vectoriel sous-jacent à l'espace de Minkowski.

Il inclut deux types de symétries :

  1. les rotations statiques de l'espace ;
  2. les transformations spéciales de Lorentz.

Ces transformations conservent non seulement la forme quadratique , forme de Lorentz de signature (3,1), mais aussi l'orientation ainsi que l'origine des repères de l'espace de Minkowski.

En physique, il s'agit des changements de référentiels de la relativité restreinte qui envoient un repère inertiel sur un autre, tout en conservant leur orientation aussi bien spatiale que temporelle, ainsi que l'origine du repère d'espace-temps. Ces transformations sont dites linéaires, propres et orthochrones.

Classification des transformations du groupe de Lorentz restreint[modifier | modifier le code]

Le groupe de Lorentz restreint est isomorphe au groupe de Möbius , ce qui correspond au groupe de symétrie des transformations conformes de la sphère de Riemann. Ses éléments peuvent être répartis par classe de conjugaison :

  • Transformations elliptiques : Cette classe inclut les rotations du système de coordonnées suivant un axe.
  • Transformations hyperboliques : Cette classe inclut les transformations spéciales de Lorentz.
  • Transformations loxodromiques (ou 4-vis) : Inclut des transformations combinant rotations et transformations spéciales de Lorentz, caractérisées par un angle et une rapidité.
  • Transformations paraboliques (ou rotations lumière) : Inclut des transformations combinant rotations et transformations spéciales de Lorentz, avec un effet limité sur les particules de masse nulle tels que les photons.

Le groupe de Lorentz complet[modifier | modifier le code]

Le groupe de Lorentz complet[1] est un sous-groupe du groupe de Poincaré complet qui réunit toutes les isométries affines de l'espace de Minkowski. Le groupe de Poincaré inclut en plus les translations statiques de l'origine, il est donc parfois appelé groupe de Lorentz affine ou inhomogène.

Le groupe de Lorentz homogène est un groupe linéaire fermé, c'est un groupe de Lie. Contrairement au groupe de Lorentz restreint, le temps peut être renversé (Symétrie T), ainsi que les coordonnées d'espace (Parité). Ces symétries supplémentaires mènent notamment à des applications en mécanique quantique.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Biliographie[modifier | modifier le code]

  • E. Gourgoulhon. Relativité restreinte : Des particules à l'astrophysique. EDP sciences, 2012 (ISBN 9782759809233, lire en ligne)
  • F. Paulin, Introduction aux groupes de Lie pour la physique, notes de cours, 2nd cycle, 2016 (lire en ligne)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Le terme « complet » est ici employé au sens de « non-restreint », et non pas au sens mathématique.