Groupe de Higman-Sims

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En mathématiques, le groupe de Higman–Sims est un groupe sporadique simple fini d'ordre    29 · 32 · 53 · 7 · 11 = 44 352 000. Il peut être caractérisé comme le sous-groupe simple d'indice 2 dans le groupe des automorphismes du graphe de Higman-Sims. Le graphe de Higman–Sims possède 100 sommets, donc le groupe de Higman-Sims, ou , a une représentation de permutation de degré 100.

est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Donald G. Higman (en) et Charles Sims (en), qui le découvrirent en 1967, alors qu'ils assistaient à une présentation par Marshall Hall du groupe de Hall-Janko (en), qui possède une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 36 et 63. Ils firent le rapprochement avec le groupe de Mathieu , qui possède aussi une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 22 et 77. Le système de Steiner possède 77 blocs. Rapidement, ils trouvèrent , avec un stabilisateur d'un point isomorphe à .

« Higman » peut aussi faire référence au mathématicien Graham Higman de l'université d'Oxford qui découvrit simultanément le groupe comme le groupe d'automorphismes d'une certaine « géométrie » sur 176 points. En conséquence, possède une représentation doublement transitive de degré 176.

Rapport avec les groupes de Conway[modifier | modifier le code]

Dans son article de 1968 maintenant classique, John Horton Conway montra comment le graphe de Higman-Sims pouvait être incorporé dans le réseau de Leech. Ici, fixe un triangle 3-3-2 et un sous-réseau à 22 dimensions. Le groupe devient ainsi un sous-groupe de chaque groupe de Conway , et . Ceci donne une manière explicite pour approcher les représentations à petites dimensions du groupe, et avec elle, un moyen direct pour le calcul à l'intérieur du groupe.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Higman–Sims group » (voir la liste des auteurs).
  • (en) John H. Conway, « A Perfect Group of Order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups », PNAS, vol. 61, no 2,‎ , p. 398-400
  • (en) John D. Dixon et Brian Mortimer, Permutation Groups, Springer-Verlag,
  • (en) Joseph Gallian (en), « The Search for Finite Simple Groups », Mathematics Magazine, vol. 49, no 4,‎ , p. 163-179
  • (en) D. G. Higman et C. C. Sims, « A simple group of order 44,352,000 », Math. Zeit., vol. 105,‎ , p. 110-113 (lire en ligne)