Groupe de Clifford

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En mathématiques, le groupe de Clifford d'une forme quadratique non dégénéré sur un corps commutatif est un sous-groupe de nature algébrico-géométrique du groupe des éléments inversibles de l'algèbre de Clifford de cette forme quadratique.

Définition[modifier | modifier le code]

On note K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur K,Q une forme quadratique non dégénérée sur V et φ la forme bilinéaire symétrique associé à Q. On note α l'involution principale de l'algèbre de Clifford de Q.

Le groupe de Clifford est défini comme étant l'ensemble des éléments inversibles x de l'algèbre de Clifford tels que

, où

pour tout v dans V. Cette formule définit aussi une action du groupe de Clifford sur l'espace vectoriel V qui conserve la norme Q et donc, donne un homomorphisme du groupe de Clifford vers le groupe orthogonal. Le groupe de Clifford contient tous les éléments r de V de norme différente de zéro, et ceux-ci agissent sur V par les réflexions correspondantes que prennent v vers v − φ(v, r)r/Q(r) (En caractéristique 2, ceux-ci sont appelés des transvections orthogonales plutôt que réflexions).

Beaucoup d'auteurs définissent le groupe de Clifford légèrement différemment, en remplaçant l'action par . Ceci produit le même groupe de Clifford, mais l'action du groupe de Clifford sur V est changée légèrement : l'action des éléments impairs du groupe de Clifford est multiplié par un facteur extérieur à -1.

L'action utilisée ici possède plusieurs petits avantages : elle est conforme avec les conventions usuelles de signes de superalgèbre, les éléments de V correspondent aux reflexions et dans les dimensions impaires, l'application du groupe de Clifford vers le groupe orthogonal est sur, et le noyau n'est pas plus grand que K*. L'utilisation de l'action à la place de ne fait pas de différence : elle produit le même groupe de Clifford avec la même action sur V.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le groupe de Clifford est l'union disjointe de deux sous-ensemble et , où est le sous-ensemble des éléments de degré i. Le sous-ensemble est un sous-groupe d'index 2 dans .

Si V est de dimension finie avec une forme bilinéaire non dégénérée alors les applications du groupe de Clifford sur le groupe orthogonal de V et le noyau consiste en éléments différents de zéro du corps K. Ceci conduit aux suites exactes

En caractéristique arbitraire, la norme de spin Q est définie sur le groupe de Clifford par

C'est un homomorphisme du groupe de Clifford vers le groupe K* des éléments différents de zéro de K. Il coïncide avec la forme quadratique Q de V lorsque V est identifié avec un sous-espace d'algèbre de Clifford. Plusieurs auteurs définissent la norme de spin légèrement différemment, c’est-à-dire qu'elle diffère de celle utilisée ici par un facteur de - 1, 2, ou - 2 sur . La différence n'est pas très importante.

Les éléments différents de zéro de K ont une norme de spin dans le groupe K*2 de carrés des éléments différents de zéro du corps K. Donc, lorsque V est de dimension finie et non-singulière, nous obtenons une application induite à partir du groupe orthogonal de V vers le groupe K*/K*2, aussi appelé la norme de spin. La norme de spin d'une réflexion d'un vecteur r possède comme image Q(r) dans K*/K*2, et cette propriété le définit uniquement dans le groupe orthogonal. Ceci donne les suites exactes :

Note : En caractéristique 2, le groupe {±1} possède simplement un élément.