Groupe ax + b

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En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe ainsi défini :

  • ses éléments sont les couples de réels avec non nul
  • la loi de composition interne est :

Il est alors facile de voir que est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de est .

Ce groupe peut également se représenter comme :

  • le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
  • le sous-groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :

Fonction modulaire

Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.

Une mesure de Haar à gauche est . Une mesure de Haar à droite est .

Nous obtenons donc une fonction modulaire :

Représentations unitaires irréductibles

Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition , les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :

  1. les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
  2. l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur par

et

Références