Graphe fortement régulier

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Le graphe de Paley d'ordre 13, un graphe fortement régulier de type (13,6,2,3).

En théorie des graphes, qui est un domaine des mathématiques, un graphe fortement régulier est un type de graphe régulier.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G = (V,E) un graphe régulier ayant v sommets et degré k. On dit que G est fortement régulier s'il existe deux entiers λ et μ tels que

  • Toute paire de sommets adjacents a exactement λ voisins communs.
  • Toute paire de sommets non-adjacents a exactement μ voisins communs.

Un graphe avec ces propriétés est appelé un graphe fortement régulier de type (v,k,λ,μ).

Lorsque μ n'est pas nul, un tel graphe est en particulier un graphe distance-régulier.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Familles de graphes définies par leurs automorphismes
distance-transitif distance-régulier fortement régulier
symétrique (transitif aux arcs) t-transitif, (t ≥ 2) symétrique gauche
(si connexe)
sommet-transitif et arc-transitif
régulier et arc-transitif arc-transitif
sommet-transitif régulier (si bipartite)
birégulier
graphe de Cayley zéro-symétrique asymétrique
  • Les quatre paramètres (v,k,λ,μ) vérifient toujours la relation suivante :
  • Un graphe fortement régulier de type (v,k,λ,μ) a exactement trois valeurs propres distinctes :
    • avec multiplicité 1
    • avec multiplicité
    • avec multiplicité
  • Les graphes fortement réguliers dont les paramètres vérifient sont nommés graphes de conférence (en) à cause de leur relation avec les matrices de conférence (en). Leur type est .
  • Le graphe complémentaire d'un graphe fortement régulier de type (v,k,λ,μ) est aussi fortement régulier, de type (v, v−k−1, v−2−2k+μ, v−2k+λ).

Exemples[modifier | modifier le code]