Graphe de Hatzel

Graphe de Hatzel


Nombre de sommets	57
Nombre d'arêtes	88
Distribution des degrés	3 (52 sommets) 4 (5 sommets)
Rayon	7
Diamètre	8
Maille	4
Automorphismes	8
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Hypohamiltonien Planaire
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Le graphe de Hatzel est, en théorie des graphes, un graphe possédant 57 sommets et 88 arêtes. Il est hypohamiltonien, c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycle hamiltonien mais que la suppression de n'importe lequel de ses sommets suffit à le rendre hamiltonien. Il est également planaire : il est possible de le représenter sur un plan sans qu'aucune arête n'en croise une autre.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les graphes hypohamiltonien furent étudiés pour la première fois par Sousselier en 1963 dans Problèmes plaisants et délectables^[1]. En 1967, Lindgren découvre une classe infinie de graphes hypohamiltoniens^[2]. Il cite alors Gaudin, Herz et Rossi^[3] puis Busacker et Saaty^[4] en tant qu'autres précurseurs sur le sujet.

Dès le départ, le plus petit graphe hypohamiltonien est connu : le graphe de Petersen. Cependant la recherche du plus petit graphe hypohamiltonien planaire reste ouverte. La question de l'existence d'un tel graphe est introduite par Václav Chvátal en 1973^[5]. La réponse est apportée en 1976 par Carsten Thomassen, qui exhibe un exemple à 105 sommets, le 105-graphe de Thomassen^[6]. En 1979, Hatzel améliore ce résultat en introduisant un graphe hypohamiltonien planaire à 57 sommets : le graphe de Hatzel^[7].

Le graphe de Hatzel est battu en 2007 par le 48-graphe de Zamfirescu^[8]. En 2009, le graphe de Zamfirescu est battu à son tour par le graphe de Wiener-Araya, qui devient avec ses 42 sommets le plus petit graphe hypohamiltonien planaire connu^[9].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe de Hatzel, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 7 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Hatzel est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Hatzel est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Hatzel est un groupe d'ordre 8.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Hatzel est : $-(x-1)^{4}(x+2)(x^{2}-2)^{2}(x^{2}+2x-1)^{4}(x^{3}+x^{2}-2x-1)(x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+9x+1)(x^{6}+x^{5}-9x^{4}-4x^{3}+20x^{2}-x-4)(x^{9}-4x^{8}-12x^{7}+55x^{6}+40x^{5}-245x^{4}+3x^{3}+354x^{2}-144x-16)(x^{9}-x^{8}-14x^{7}+10x^{6}+65x^{5}-31x^{4}-103x^{3}+31x^{2}+17x-3)^{2}$ .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Théorie des graphes

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Hatzel Graph », sur MathWorld

Références[modifier | modifier le code]

↑ R. Sousselier et C. Berge (dir.), « Problèmes plaisants et délectables », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 7,‎ 1963, p. 405–406
↑ (en) W. F. Lindgren, An infinite class of hypohamiltonian graphs, vol. 74, 1967 (DOI 10.2307/2313617), p. 1087–1089, lien Math Reviews
↑ T. Gaudin, P. Herz et Rossi, « Solution du problème No. 29 », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 8,‎ 1964, p. 214–218
↑ (en) R. G. Busacker et T. L. Saaty, Finite Graphs and Networks, McGraw-Hill, 1965
↑ (en) V. Chvátal, « Flip-flops in hypo-Hamiltonian graphs », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 16,‎ 1973, p. 33–41, lien Math Reviews
↑ (en) C. Thomassen, « Planar and Infinite Hypohamiltonian and Hypotraceable Graphs » dans Disc. Math. 14 (1976), 377-389
↑ (de) H. Hatzel, « Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten » dans Math. Ann. 243 (1979), 213-216
↑ (en) C. T. Zamfirescu et T. I. Zamfirescu, « A Planar Hypohamiltonian Graph with 48 Vertices » dans J. Graph Th. 48 (2007), 338-342
↑ (en) G. Wiener et M. Araya, The Ultimate Question, 20 avril 2009, arXiv:0904.3012

Portail des mathématiques

[1] R. Sousselier et C. Berge (dir.), « Problèmes plaisants et délectables », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 7,‎ 1963, p. 405–406

[2] (en) W. F. Lindgren, An infinite class of hypohamiltonian graphs, vol. 74, 1967 (DOI 10.2307/2313617), p. 1087–1089, lien Math Reviews

[3] T. Gaudin, P. Herz et Rossi, « Solution du problème No. 29 », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 8,‎ 1964, p. 214–218

[4] (en) R. G. Busacker et T. L. Saaty, Finite Graphs and Networks, McGraw-Hill, 1965

[FLIP-5] (en) V. Chvátal, « Flip-flops in hypo-Hamiltonian graphs », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 16,‎ 1973, p. 33–41, lien Math Reviews

[6] (en) C. Thomassen, « Planar and Infinite Hypohamiltonian and Hypotraceable Graphs » dans Disc. Math. 14 (1976), 377-389

[7] (de) H. Hatzel, « Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten » dans Math. Ann. 243 (1979), 213-216

[8] (en) C. T. Zamfirescu et T. I. Zamfirescu, « A Planar Hypohamiltonian Graph with 48 Vertices » dans J. Graph Th. 48 (2007), 338-342

[9] (en) G. Wiener et M. Araya, The Ultimate Question, 20 avril 2009, arXiv:0904.3012

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