Graphe d'intervalles

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Sept intervalles de la droite réelle et le graphe d'intervalle associé

En théorie des graphes, un graphe d'intervalles est le graphe d'intersection d'un ensemble d'intervalles de la droite réelle. Chaque sommet du graphe d'intervalle représente un intervalle de l'ensemble, et une arête relie deux sommets lorsque les deux intervalles correspondants s'intersectent.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient

des intervalles. Alors, le graphe d'intervalle correspondant est

et

Applications[modifier | modifier le code]

Les graphes d'intervalles sont utilisés pour modéliser les problèmes d'allocation de ressources en recherche opérationnelle. Chaque intervalle représente l'allocation d'une ressource pendant un certain temps; la recherche du stable maximum du graphe correspond à la meilleure allocation de ressources pouvant être réalisée sans conflits[1].

La recherche d'un ensemble d'intervalles qui représente un graphe d'intervalle peut aussi être une manière d'assembler des séquences contigües d'ADN[2]. L'étude des graphes d'intervalles a d'ailleurs été motivé en partie par les études biologiques de Seymour Benzer[3],[4].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le théorème de Gilmore et Hoffman montre qu'un graphe d'intervalles est un graphe cordal (donc un graphe parfait) dont le graphe complémentaire est un graphe de comparabilité[5],[6]. La relation de comparabilité est précisément l'ordre d'intervalle (en).

Un graphe d'intervalles propre est un graphe d'intervalles possédant une représentation d'intervalles dans laquelle aucun intervalle n'est inclus dans l'autre. Un graphe d'intervalles unitaire est un graphe d'intervalle possédant une représentation d'intervalles fermés dans laquelle chaque intervalle est de longueur 1. On peut démontrer que ces deux classes sont en fait équivalentes.

Aspects algorithmiques[modifier | modifier le code]

Algorithmes efficaces de reconnaissance[modifier | modifier le code]

Déterminer si un graphe donné est un graphe d'intervalles peut être fait avec une complexité en temps en recherchant un ordonnancement des cliques maximales de qui est consécutif en respectant les inclusions des nœuds. De manière formelle, un graphe est un graphe d'intervalles si et seulement si les cliques maximales de peuvent être ordonnées telles que pour tout , alors pour tout entier

L'algorithme original permettant de savoir si un graphe est un graphe d'intervalles en temps linéaire, dû à Booth et Lueker[7] est basé sur un arbre PQ (en) complexe, mais Habib et al[8] ont montré comment résoudre plus simplement le problème, en utilisant le fait qu'un graphe est un graphe d'intervalles si et seulement s'il est cordal et son graphe complémentaire est un graphe de comparabilité[9].

Problèmes restreints à la classe[modifier | modifier le code]

De nombreux problèmes NP-complets dans le cas général, il existe des algorithmes de complexité polynomiale ou même linéaire si l'on se restreint aux graphes d'intervalles, par exemple le problème de l'isomorphisme de graphes[10] et le problème du voyageur de commerce[11],[12].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Amotz Bar-Noy, Reuven Bar-Yehuda, Ari Freund, Joseph (Seffi) Naor et Baruch Schieber, « A unified approach to approximating resource allocation and scheduling », Journal of the ACM, vol. 48, no 5,‎ , p. 1069-1090 (DOI 10.1145/502102.502107, lire en ligne)
  2. (en) Peisen Zhang, Eric A. Schon, Stuart G. Fischer, Eftihia Cayanis, Janie Weiss, Susan Kistler et Philip E. Bourne, « An algorithm based on graph theory for the assembly of contigs in physical mapping of DNA », Bioinformatics, vol. 10, no 3,‎ , p. 309-317 (DOI 10.1093/bioinformatics/10.3.309)
  3. Seymour Benzer, « On the Topology of the Genetic Fine Structure », Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 11, no 45,‎ , p. 1607-1620.
  4. Mark Muldoon, « Discrete Maths, Coursework », sur Université de Manchester,
  5. Paul C. Gilmore et Alan J. Hoffman, « A characterization of comparability graphs and of interval graphs », Canad. J. Math, vol. 16, no 539-548,‎ , p. 4
  6. Martin Aigner, Graphs and Partial orderings, Université de Caroline du Nord, (lire en ligne)
  7. (en) Booth, K. S.; Lueker, G. S., « Testing for the consecutive ones property, interval graphs, and graph planarity using PQ-tree algorithms », J. Comput. System Sci., vol. 13,‎ , p. 335–379
  8. (en) Habib, Michel; McConnell, Ross; Paul, Christophe; Viennot, Laurent, « Lex-BFS and partition refinement, with applications to transitive orientation, interval graph recognition, and consecutive ones testing », Theor. Comput. Sci., vol. 234,‎ , p. 59–84 (DOI 10.1016/S0304-3975(97)00241-7, lire en ligne)
  9. Martin Charles Golumbic (en) (1980), Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Academic Press, (ISBN 0-12-289260-7)
  10. Kellogg S. Booth et George S. Lueker, « A linear time algorithm for deciding interval graph isomorphism », Journal of the ACM, vol. 26, no 2,‎ , p. 183-195 (DOI 10.1145/322123.322125).
  11. J Mark Keil, « Finding Hamiltonian circuits in interval graphs », Information Processing Letters, vol. 20, no 4,‎ , p. 201-206
  12. Voir (en) « Information System on Graph Class Inclusions » pour plus d'exemples.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Fulkerson, D. R.; Gross, O. A., « Incidence matrices and interval graphs », Pacific Journal of Mathematics, vol. 15,‎ , p. 835–855

Liens externes[modifier | modifier le code]