Graphe birégulier

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Dans la théorie des graphes, un graphe birégulier[1] est un graphe biparti dans lequel tous les sommets de chacune des deux parties du graphe ont le même degré.

Notons et les deux parties d'un graphe birégulier. Si le degré des sommets de est et si le degré des sommets de est , le graphe est dit -birégulier.


Exemples[modifier | modifier le code]

Le graphe biparti complet est -birégulier.

Les graphes bipartis complets[modifier | modifier le code]

Tout graphe biparti complet (figure) est -birégulier[2].

Le graphe du dodécaèdre rhombique est birégulier.

Le graphe du dodécaèdre rhombique[modifier | modifier le code]

Le graphe du dodécaèdre rhombique (figure) est -birégulier[3]. En effet, ses sommets se répartissent en deux ensembles :

  • l'ensemble des sommets de degré 4 ;
  • l'ensemble des sommets de degré 3.

Aucun sommet de degré 4 n'est lié par une arête à un autre sommet de degré 4 ; aucun sommet de degré 3 n'est lié par une arête à un autre sommet de degré 3 : ce graphe est bien biparti.

Nombre de sommets[modifier | modifier le code]

Un graphe birégulier de parties et vérifie l'égalité .

Par exemple, dans le dodécaèdre rhombique, on a 6 sommets de degré 4 et 8 sommets de degré 3, il vérifie bien .

On peut prouver cette égalité par double dénombrement :

  • le nombre d'extrémités des arêtes aboutissant dans est  ;
  • le nombre d'extrémités des arêtes aboutissant dans est  ;
  • chaque arête a une extrémité et une seule dans et une extrémité et une seule dans , donc ces deux nombres sont égaux.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Edward R. Scheinerman et Daniel H. Ullman, Fractional graph theory, New York, John Wiley & Sons Inc.,‎ (ISBN 0-471-17864-0), p. 137.
  2. a et b (en) Josef Lauri et Raffaele Scapellato, Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction, Cambridge University Press,‎ , 20–21 p. (ISBN 9780521529037, lire en ligne).
  3. (en) Tamás Réti, « On the relationships between the first and second Zagreb indices », MATCH Commun. Math. Comput. Chem., vol. 68,‎ , p. 169–188 (lire en ligne).
  4. (en) Harald Gropp, Handbook of combinatorial designs, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL,‎ , 353–355 p..

Source[modifier | modifier le code]